3次方程式 $x^3 + 6x^2 - 15x - k = 0$ の実数解の個数に関する問題です。 - 異なる3個の実数解をもつときの $k$ の値の範囲を求めます。 - ただ一つの実数解をもち、それが正の解であるときの $k$ の値の範囲を求めます。 - 正の2重解と一つの負の解をもつときの $k$ の値と、そのときの負の解を求めます。

1. 問題の内容

3次方程式 $x^3 + 6x^2 - 15x - k = 0$ の実数解の個数に関する問題です。

- 異なる3個の実数解をもつときの $k$ の値の範囲を求めます。

- ただ一つの実数解をもち、それが正の解であるときの $k$ の値の範囲を求めます。

- 正の2重解と一つの負の解をもつときの $k$ の値と、そのときの負の解を求めます。

2. 解き方の手順

$f(x) = x^3 + 6x^2 - 15x$ とおくと、$f'(x) = 3x^2 + 12x - 15 = 3(x^2 + 4x - 5) = 3(x+5)(x-1)$ となります。

$f'(x) = 0$ となるのは $x = -5$ または $x = 1$ のときです。

$x = -5$ のとき $f(-5) = (-5)^3 + 6(-5)^2 - 15(-5) = -125 + 150 + 75 = 100$

$x = 1$ のとき $f(1) = 1^3 + 6(1)^2 - 15(1) = 1 + 6 - 15 = -8$

グラフを描くと、$x=-5$ で極大値 $100$ をとり、$x=1$ で極小値 $-8$ をとることが分かります。

(1) 異なる3個の実数解をもつとき、$y = f(x)$ のグラフと $y = k$ のグラフが3点で交わる必要があります。

したがって、$-8 < k < 100$ となります。

(2) ただ一つの実数解をもち、それが正の解であるとき、$y = f(x)$ のグラフと $y = k$ のグラフが1点で交わる必要があります。また、$x>0$の範囲で交わることが必要です。

グラフより、$k > 100$ となります。

(3) 正の2重解と一つの負の解をもつとき、$y = f(x)$ のグラフと $y = k$ のグラフが、$x=1$で接し、別の $x$ で交わる必要があります。

$k = -8$ のとき、接点は $x=1$ で、もう一つの解は $x^3 + 6x^2 - 15x + 8 = (x-1)^2(x+8) = 0$ より、$x = -8$ となります。

3. 最終的な答え

- 異なる3個の実数解をもつときの $k$ の値の範囲: $-8 < k < 100$

- ただ一つの実数解をもち、それが正の解であるときの $k$ の値の範囲: $k > 100$

- 正の2重解と一つの負の解をもつときの $k$ の値: $k = -8$

- そのときの負の解: $x = -8$