(1) 関数 $f(x) = x + 2$ と $g(x) = x^2$ が与えられています。$(f \circ h)(x) = g(x)$ を満たす2次関数 $h(x)$ を求める必要があります。 (2) 関数 $f(x) = \frac{3x}{x+1}$ と $g(x) = 2x - 1$ が与えられています。これらの逆関数 $f^{-1}(x)$, $g^{-1}(x)$, $(f \circ g)^{-1}(x)$ を求める必要があります。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = x + 2$ と $g(x) = x^2$ が与えられています。$(f \circ h)(x) = g(x)$ を満たす2次関数 $h(x)$ を求める必要があります。

(2) 関数 $f(x) = \frac{3x}{x+1}$ と $g(x) = 2x - 1$ が与えられています。これらの逆関数 $f^{-1}(x)$, $g^{-1}(x)$, $(f \circ g)^{-1}(x)$ を求める必要があります。

2. 解き方の手順

(1)

$(f \circ h)(x) = f(h(x))$ であるから、$f(h(x)) = h(x) + 2$ となります。

問題文より、$(f \circ h)(x) = g(x)$ なので、$h(x) + 2 = x^2$ となります。

よって、$h(x) = x^2 - 2$ となります。

(2)

$f(x) = \frac{3x}{x+1}$ に対して、$y = \frac{3x}{x+1}$ とおきます。

$y(x+1) = 3x$ より、$yx + y = 3x$ となります。

$yx - 3x = -y$ より、$x(y-3) = -y$ となります。

よって、$x = \frac{-y}{y-3} = \frac{y}{3-y}$ となります。

したがって、$f^{-1}(x) = \frac{x}{3-x}$ となります。

$g(x) = 2x - 1$ に対して、$y = 2x - 1$ とおきます。

$2x = y + 1$ より、$x = \frac{y+1}{2}$ となります。

したがって、$g^{-1}(x) = \frac{x+1}{2}$ となります。

$(f \circ g)(x) = f(g(x)) = f(2x - 1) = \frac{3(2x-1)}{2x-1+1} = \frac{6x-3}{2x} = 3 - \frac{3}{2x}$ となります。

$y = 3 - \frac{3}{2x}$ とおきます。

$y - 3 = - \frac{3}{2x}$ より、$2x = \frac{-3}{y-3} = \frac{3}{3-y}$ となります。

$x = \frac{3}{2(3-y)}$ となります。

したがって、$(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{3}{2(3-x)}$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $h(x) = x^2 - 2$

(2) $f^{-1}(x) = \frac{x}{3-x}$, $g^{-1}(x) = \frac{x+1}{2}$, $(f \circ g)^{-1}(x) = \frac{3}{2(3-x)}$