与えられた2つの行列の固有値と、それぞれの固有値に対する固有ベクトルを求める問題です。 (1) $A = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}$ (2) $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた2つの行列の固有値と、それぞれの固有値に対する固有ベクトルを求める問題です。

(1) $A = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}$

(2) $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) 行列 A の固有値と固有ベクトル

* **固有方程式を立てる**：行列 $A$ の固有値を $\lambda$ とすると、固有方程式は $|A - \lambda I| = 0$ となります。ここで、$I$ は単位行列です。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 7-\lambda & 10 \\ -3 & -4-\lambda \end{vmatrix} = (7-\lambda)(-4-\lambda) - (10)(-3) = 0$

* **固有値を求める**：固有方程式を解いて $\lambda$ を求めます。

$(7-\lambda)(-4-\lambda) + 30 = -28 -7\lambda + 4\lambda + \lambda^2 + 30 = \lambda^2 - 3\lambda + 2 = (\lambda - 1)(\lambda - 2) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 1$ と $\lambda_2 = 2$ です。

* **固有ベクトルを求める**：それぞれの固有値 $\lambda$ に対して、$(A - \lambda I)v = 0$ を満たすベクトル $v$ が固有ベクトルです。

* $\lambda_1 = 1$ のとき：

$(A - I)v = \begin{pmatrix} 6 & 10 \\ -3 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$6x + 10y = 0$ より、$3x + 5y = 0$。例えば、$x = 5$ とすると、$y = -3$ となるので、固有ベクトル $v_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$ が得られます。

* $\lambda_2 = 2$ のとき：

$(A - 2I)v = \begin{pmatrix} 5 & 10 \\ -3 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$5x + 10y = 0$ より、$x + 2y = 0$。例えば、$x = 2$ とすると、$y = -1$ となるので、固有ベクトル $v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ が得られます。

(2) 行列 B の固有値と固有ベクトル

* **固有方程式を立てる**：行列 $B$ の固有値を $\lambda$ とすると、固有方程式は $|B - \lambda I| = 0$ となります。

$|B - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ 0 & 1-\lambda & -3 \\ 0 & -3 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda) \begin{vmatrix} 1-\lambda & -3 \\ -3 & 1-\lambda \end{vmatrix} = 0$

* **固有値を求める**：固有方程式を解いて $\lambda$ を求めます。

$(1-\lambda)((1-\lambda)^2 - 9) = (1-\lambda)(\lambda^2 - 2\lambda - 8) = (1-\lambda)(\lambda - 4)(\lambda + 2) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 4$, $\lambda_3 = -2$ です。

* **固有ベクトルを求める**：それぞれの固有値 $\lambda$ に対して、$(B - \lambda I)v = 0$ を満たすベクトル $v$ が固有ベクトルです。

* $\lambda_1 = 1$ のとき：

$(B - I)v = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & -3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2y + 3z = 0$, $-3z = 0$, $-3y = 0$ より、$y = 0$、$z = 0$ なので、$x$ は任意の値をとることができます。例えば、$x = 1$ とすると、固有ベクトル $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ が得られます。

* $\lambda_2 = 4$ のとき：

$(B - 4I)v = \begin{pmatrix} -3 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -3 \\ 0 & -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-3x + 2y + 3z = 0$, $-3y - 3z = 0$ より、$y = -z$、 $-3x - 2z + 3z = 0$ つまり $-3x + z = 0$。

よって、$z = 3x$ となるので、$y = -3x$。例えば、$x = 1$ とすると、$y = -3$、$z = 3$ となるので、固有ベクトル $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}$ が得られます。

* $\lambda_3 = -2$ のとき：

$(B + 2I)v = \begin{pmatrix} 3 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \\ 0 & -3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$3x + 2y + 3z = 0$, $3y - 3z = 0$ より、$y = z$、 $3x + 2z + 3z = 0$ つまり $3x + 5z = 0$。

よって、$x = -\frac{5}{3}z$ 。例えば、$z = 3$ とすると、$y = 3$、$x = -5$ となるので、固有ベクトル $v_3 = \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ が得られます。

3. 最終的な答え

(1) 行列 A の固有値と固有ベクトル：

* 固有値: $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 2$

* 固有ベクトル: $v_1 = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

(2) 行列 B の固有値と固有ベクトル：

* 固有値: $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 4$, $\lambda_3 = -2$

* 固有ベクトル: $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}$, $v_3 = \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$