実数 $a$ を含む $x$ の4次方程式 $x^4 + 2ax^2 - a + 2 = 0$ について、以下の問題を解く。 (1) この方程式が実数解をもたないような $a$ の値の範囲を求める。 (2) この方程式が異なる2つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

実数 $a$ を含む $x$ の4次方程式 $x^4 + 2ax^2 - a + 2 = 0$ について、以下の問題を解く。

(1) この方程式が実数解をもたないような $a$ の値の範囲を求める。

(2) この方程式が異なる2つの実数解をもつような $a$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

(1) $x^2 = t$ とおくと、与えられた方程式は $t^2 + 2at - a + 2 = 0$ となる。

この $t$ の二次方程式が実数解を持たない、または $t$ の二次方程式が実数解を持つが、その解がすべて負であるとき、与えられた $x$ の方程式は実数解を持たない。

$t$ の二次方程式の判別式を $D$ とすると、$D = (2a)^2 - 4(1)(-a + 2) = 4a^2 + 4a - 8 = 4(a^2 + a - 2) = 4(a + 2)(a - 1)$ となる。

$D < 0$ のとき、つまり $-2 < a < 1$ のとき、$t$ の二次方程式は実数解を持たないため、$x$ の方程式も実数解を持たない。

$D \ge 0$ のとき、つまり $a \le -2$ または $a \ge 1$ のとき、$t$ の二次方程式は実数解を持つ。

$t$ の二次方程式の2つの解を $\alpha, \beta$ とすると、解と係数の関係より $\alpha + \beta = -2a$, $\alpha \beta = -a + 2$ である。

$\alpha < 0$ かつ $\beta < 0$ であるためには、$\alpha + \beta < 0$ かつ $\alpha \beta > 0$ であればよい。

$-2a < 0$ より $a > 0$, $-a + 2 > 0$ より $a < 2$。したがって、$0 < a < 2$ となる。

$a \le -2$ または $a \ge 1$ かつ $0 < a < 2$ を満たす $a$ の範囲は $1 \le a < 2$ である。

したがって、$x$ の方程式が実数解を持たないような $a$ の範囲は、$-2 < a < 1$ または $1 \le a < 2$ とならないので、$t$が負の解を持つ条件を検討する必要がある。

$t$が負の解を持つには、$D>0$かつ、解の積が正（$\alpha \beta > 0$）、解の和が負（$\alpha + \beta < 0$）。

$D>0$より、$a<-2, a>1$。

$\alpha \beta > 0$より$-a+2 >0$。$a < 2$。

$\alpha + \beta < 0$より$-2a < 0$。$a > 0$。

よって、$1 < a < 2$。

$t$が0以下の解を少なくとも一つ持つ条件は、$a<-2, a>1$を満たす$a$のとき。

$t$ の方程式が実数解を持たない場合、$x$ の方程式も実数解を持たない。

よって、$-2 < a < 1$。

(2) $t$ の二次方程式が異なる2つの実数解をもち、そのうち1つが正、もう1つが負であれば、$x$ の方程式は異なる2つの実数解を持つ。

つまり、$D > 0$ かつ $\alpha \beta < 0$ であればよい。

$D > 0$ より $a < -2$ または $a > 1$。

$\alpha \beta < 0$ より $-a + 2 < 0$, つまり $a > 2$。

したがって、$a > 2$。

3. 最終的な答え

(1) $-2 < a < 1$

(2) $a > 2$