$k$ を実数の定数とする。2つの集合 $A = \{1, 3, k-1\}$ と $B = \{0, k, k^2 - 3\}$ がある。$A \cap B = \{1\}$ となるような $k$ の値を求める。

1. 問題の内容

$k$ を実数の定数とする。2つの集合 $A = \{1, 3, k-1\}$ と $B = \{0, k, k^2 - 3\}$ がある。$A \cap B = \{1\}$ となるような $k$ の値を求める。

2. 解き方の手順

$A \cap B = \{1\}$ より、集合 $A$ と集合 $B$ の両方に $1$ が含まれる必要がある。

$A$ は $1$ を含んでいるので、集合 $B$ が $1$ を含む必要がある。

したがって、$k = 1$ または $k^2 - 3 = 1$ が成り立つ。

まず、$k = 1$ の場合を考える。

$A = \{1, 3, 1 - 1\} = \{1, 3, 0\}$

$B = \{0, 1, 1^2 - 3\} = \{0, 1, -2\}$

$A \cap B = \{0, 1\}$ となり、$A \cap B = \{1\}$ を満たさない。

次に、$k^2 - 3 = 1$ の場合を考える。

$k^2 = 4$ より、$k = \pm 2$ である。

$k = 2$ の場合：

$A = \{1, 3, 2-1\} = \{1, 3, 1\}$

$B = \{0, 2, 2^2 - 3\} = \{0, 2, 1\}$

$A \cap B = \{1\}$ となり、$A \cap B = \{1\}$ を満たす。

$k = -2$ の場合：

$A = \{1, 3, -2-1\} = \{1, 3, -3\}$

$B = \{0, -2, (-2)^2 - 3\} = \{0, -2, 1\}$

$A \cap B = \{1\}$ となり、$A \cap B = \{1\}$ を満たす。

したがって、$k = 2$ または $k = -2$ となる。

3. 最終的な答え

e. $1, \pm 2$ が選択肢にありますが、$k=1$は条件を満たさないため、正解は $k=\pm 2$です。

選択肢 d. $\pm 2$ が最も適切です。