与えられた対称行列を、適切な直交行列を用いて対角化する問題です。具体的には、 (1) $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 6 & -4 \end{pmatrix}$ の2つの行列について、対角化を行う必要があります。

1. 問題の内容

与えられた対称行列を、適切な直交行列を用いて対角化する問題です。具体的には、

(1) $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 6 & -4 \end{pmatrix}$

の2つの行列について、対角化を行う必要があります。

2. 解き方の手順

(1) の行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ について

(a) 固有値を求める。

特性方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解く。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 3-\lambda & -1 \\ -1 & 3-\lambda \end{vmatrix} = (3-\lambda)^2 - (-1)^2 = \lambda^2 - 6\lambda + 9 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 = (\lambda - 2)(\lambda - 4) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = 2$ と $\lambda_2 = 4$ である。

(b) 固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = 2$ のとき、$(A - 2I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ を解く。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x - y = 0$ より、$x = y$。したがって、固有ベクトルは $\mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。これを正規化すると $\mathbf{u_1} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。

$\lambda_2 = 4$ のとき、$(A - 4I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ を解く。

$\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x - y = 0$ より、$x = -y$。したがって、固有ベクトルは $\mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$。これを正規化すると $\mathbf{u_2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$。

(c) 直交行列 $P$ を構成する。

$P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

(d) 対角化された行列 $D$ を求める。

$D = P^{-1}AP = P^T A P = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

(2) の行列 $B = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 6 & -4 \end{pmatrix}$ について

(a) 固有値を求める。

特性方程式 $|B - \lambda I| = 0$ を解く。

$|B - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 6 \\ 6 & -4-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)(-4-\lambda) - 6^2 = \lambda^2 + 3\lambda - 4 - 36 = \lambda^2 + 3\lambda - 40 = (\lambda + 8)(\lambda - 5) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = -8$ と $\lambda_2 = 5$ である。

(b) 固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = -8$ のとき、$(B - (-8)I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ を解く。

$\begin{pmatrix} 9 & 6 \\ 6 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$9x + 6y = 0$ より、$3x + 2y = 0$。したがって、$x = -\frac{2}{3}y$。固有ベクトルは $\mathbf{v_1} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$。これを正規化すると $\mathbf{u_1} = \frac{1}{\sqrt{13}} \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}$。

$\lambda_2 = 5$ のとき、$(B - 5I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$ を解く。

$\begin{pmatrix} -4 & 6 \\ 6 & -9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-4x + 6y = 0$ より、 $2x = 3y$。したがって、$x = \frac{3}{2}y$。固有ベクトルは $\mathbf{v_2} = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$。これを正規化すると $\mathbf{u_2} = \frac{1}{\sqrt{13}} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$。

(c) 直交行列 $P$ を構成する。

$P = \begin{pmatrix} -\frac{2}{\sqrt{13}} & \frac{3}{\sqrt{13}} \\ \frac{3}{\sqrt{13}} & \frac{2}{\sqrt{13}} \end{pmatrix}$

(d) 対角化された行列 $D$ を求める。

$D = P^{-1}BP = P^T B P = \begin{pmatrix} -8 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) 対角化する直交行列は $P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$ であり、対角行列は $D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$ である。

(2) 対角化する直交行列は $P = \begin{pmatrix} -\frac{2}{\sqrt{13}} & \frac{3}{\sqrt{13}} \\ \frac{3}{\sqrt{13}} & \frac{2}{\sqrt{13}} \end{pmatrix}$ であり、対角行列は $D = \begin{pmatrix} -8 & 0 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}$ である。