$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$とする。$2^n$が202桁の整数となるような自然数$n$の最大値とそのときの$2^n$の最高位の数字を求める問題。

1. 問題の内容

$\log_{10}2 = 0.3010$、$\log_{10}3 = 0.4771$とする。$2^n$が202桁の整数となるような自然数$n$の最大値とそのときの$2^n$の最高位の数字を求める問題。

2. 解き方の手順

$2^n$が202桁の整数であるとき、

$10^{201} \le 2^n < 10^{202}$

両辺の常用対数をとると、

$\log_{10} 10^{201} \le \log_{10} 2^n < \log_{10} 10^{202}$

$201 \le n \log_{10} 2 < 202$

$201 \le 0.3010n < 202$

$\frac{201}{0.3010} \le n < \frac{202}{0.3010}$

$667.77 \le n < 671.09$

したがって、$n$の最大値は671。

次に、$n=671$のとき、$2^{671}$の最高位の数字を求める。

$\log_{10} 2^{671} = 671 \log_{10} 2 = 671 \times 0.3010 = 201.971$

$2^{671} = 10^{201.971} = 10^{201} \times 10^{0.971}$

ここで、$10^{0.971} = x$ とおくと、$\log_{10} x = 0.971$

$\log_{10} 9 = 2 \log_{10} 3 = 2 \times 0.4771 = 0.9542$

$\log_{10} 10 = 1$

$0.9542 < 0.971 < 1$ なので、$9 < x < 10$

$10^{0.971} = x$ を近似する。

$\log_{10} 9.3 = \log_{10} 3 + \log_{10} 3.1$

$\log_{10} 3.1 \approx 0.4914$ なので、 $\log_{10} 9.3 \approx 0.4771 + 0.4914 = 0.9685$

$\log_{10} 9.4 \approx \log_{10} 3 + \log_{10} 3.13 \approx 0.4771 + \log_{10} (10^{\log_{10}3.13}) = 0.9735$

よって$x=9.3 \sim 9.4$ となり、$2^{671} = 10^{201} \times 9.3 \approx 9.3 \times 10^{201}$

したがって$2^{671}$の最高位の数字は9。

3. 最終的な答え

$n$の最大値は 671。

$n=671$のとき、$2^{671}$の最高位の数字は 9。