$k$を実数の定数とし、2つの集合$A = \{1, 3, k-1\}$、$B = \{0, k, k^2-3\}$がある。 $A \cap B = \{1\}$となるような$k$の値を求める。

1. 問題の内容

$k$を実数の定数とし、2つの集合$A = \{1, 3, k-1\}$、$B = \{0, k, k^2-3\}$がある。

$A \cap B = \{1\}$となるような$k$の値を求める。

2. 解き方の手順

$A \cap B = \{1\}$ より、$1 \in A$ かつ $1 \in B$ である。

$A$ は $1$ を含むので、$k-1 = 1$ または $3=1$ が成り立つ。

しかし、$3=1$ は明らかに誤りなので、$k-1=1$。

したがって、$k = 2$ 。

$B$ は $1$ を含むので、$k = 1$ または $k^2-3 = 1$ または $0=1$が成り立つ。

$0=1$ は明らかに誤り。

$k = 1$ のとき、$A = \{1, 3, 0\}$, $B = \{0, 1, -2\}$ となり、$A \cap B = \{0, 1\}$なので、$A \cap B = \{1\}$ を満たさない。

$k^2 - 3 = 1$ のとき、$k^2 = 4$ より、$k = \pm 2$。

$k = 2$ のとき、$A = \{1, 3, 1\}$, $B = \{0, 2, 1\}$ となり、$A \cap B = \{1\}$ を満たす。

$k = -2$ のとき、$A = \{1, 3, -3\}$, $B = \{0, -2, 1\}$ となり、$A \cap B = \{1\}$ を満たす。

したがって、$B$ が$1$を含むためには、$k = 1$, $k = 2$, $k = -2$ のいずれかである必要がある。

また、$A \cap B = \{1\}$ でなければならないので、$A$と$B$の共通部分は$1$のみである必要がある。

$k=2$のとき、$A = \{1, 3, 1\}$, $B = \{0, 2, 1\}$となり、$A \cap B = \{1\}$を満たす。

$k=-2$のとき、$A = \{1, 3, -3\}$, $B = \{0, -2, 1\}$となり、$A \cap B = \{1\}$を満たす。

また、$A$に$1$が含まれる必要があるので、$k-1=1$より、$k=2$。

$B$に$1$が含まれる必要があるので、$k=1$または$k^2-3=1$より、$k=\pm2$。

したがって、条件を満たす$k$の値は$k=2$である。

3. 最終的な答え

c 2