問題は、$2^n$ が202桁のとき、 $10^{201} \le 2^n < 10^{202}$ が成り立つことから、$n$ を求める問題です。さらに、$2^{671}$ の最高位の数を求める問題です。

1. 問題の内容

問題は、$2^n$ が202桁のとき、 $10^{201} \le 2^n < 10^{202}$ が成り立つことから、$n$ を求める問題です。さらに、$2^{671}$ の最高位の数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$10^{201} \le 2^n < 10^{202}$ の両辺の常用対数をとります。

$201 \le n \log_{10} 2 < 202$

この不等式を $n$ について解くと、

$\frac{201}{\log_{10} 2} \le n < \frac{202}{\log_{10} 2}$

となります。$\log_{10} 2 \approx 0.3010$ であることを使うと、

$\frac{201}{0.3010} \le n < \frac{202}{0.3010}$

$667.77 \le n < 671.09$

したがって、条件を満たす最大の整数 $n$ は $n = 671$ です。

次に、$2^{671}$ の最高位の数を求めます。

$\log_{10} 2^{671} = 671 \log_{10} 2 = 671 \times 0.3010 = 201.971$

$\log_{10} 9 = 2 \log_{10} 3 = 2 \times 0.4771 = 0.9542$

$\log_{10} 10 = 1$

したがって、$\log_{10} 9 < 0.971 < \log_{10} 10$ です。

$201 + \log_{10} 9 < 201.971 < 201 + \log_{10} 10$

$201 + \log_{10} 9 < \log_{10} 2^{671} < 201 + \log_{10} 10$

$\log_{10} (9 \times 10^{201}) < \log_{10} 2^{671} < \log_{10} (10 \times 10^{201})$

$9 \times 10^{201} < 2^{671} < 10 \times 10^{201}$

よって、$2^{671}$ の最高位の数は $9$ です。

3. 最終的な答え

$n = 671$

$2^{671}$ の最高位の数は $9$