与えられた対称行列を、適切な直交行列を用いて対角化する問題です。具体的には、以下の二つの行列について、対角化を行う直交行列を求めます。 (1) $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 6 & -4 \end{pmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた対称行列を、適切な直交行列を用いて対角化する問題です。具体的には、以下の二つの行列について、対角化を行う直交行列を求めます。

(1) $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 6 & -4 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) の行列 $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ について：

* **ステップ1：固有値を求める**

行列 $A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ に対して、$A - \lambda I$ の行列式を計算し、固有方程式を解きます。ここで、$I$ は単位行列です。

$\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 3 - \lambda & -1 \\ -1 & 3 - \lambda \end{pmatrix} = (3 - \lambda)^2 - (-1)^2 = \lambda^2 - 6\lambda + 9 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 = (\lambda - 2)(\lambda - 4) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 2$ と $\lambda_2 = 4$ です。

* **ステップ2：固有ベクトルを求める**

* $\lambda_1 = 2$ のとき:

$(A - 2I)v_1 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x - y = 0$ より、$x = y$。固有ベクトル $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。

正規化すると $u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$。

* $\lambda_2 = 4$ のとき:

$(A - 4I)v_2 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x - y = 0$ より、$x = -y$。固有ベクトル $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$。

正規化すると $u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$。

* **ステップ3：直交行列を構成する**

固有ベクトルを列ベクトルとして並べた行列が直交行列となります。

$P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$

この直交行列 $P$ によって、$A$ は対角化されます。すなわち、$P^T A P = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$となります。

(2) の行列 $\begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 6 & -4 \end{pmatrix}$ について：

* **ステップ1：固有値を求める**

行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 6 & -4 \end{pmatrix}$ に対して、$A - \lambda I$ の行列式を計算し、固有方程式を解きます。ここで、$I$ は単位行列です。

$\det(A - \lambda I) = \det\begin{pmatrix} 1 - \lambda & 6 \\ 6 & -4 - \lambda \end{pmatrix} = (1 - \lambda)(-4 - \lambda) - 36 = \lambda^2 + 3\lambda - 4 - 36 = \lambda^2 + 3\lambda - 40 = (\lambda - 5)(\lambda + 8) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 5$ と $\lambda_2 = -8$ です。

* **ステップ2：固有ベクトルを求める**

* $\lambda_1 = 5$ のとき:

$(A - 5I)v_1 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} -4 & 6 \\ 6 & -9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-4x + 6y = 0$ より、$2x = 3y$。固有ベクトル $v_1 = \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$。

正規化すると $u_1 = \frac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$。

* $\lambda_2 = -8$ のとき:

$(A + 8I)v_2 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 9 & 6 \\ 6 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$3x + 2y = 0$ より、$2y = -3x$。固有ベクトル $v_2 = \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$。

正規化すると $u_2 = \frac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$。

* **ステップ3：直交行列を構成する**

固有ベクトルを列ベクトルとして並べた行列が直交行列となります。

$P = \begin{pmatrix} \frac{3}{\sqrt{13}} & \frac{2}{\sqrt{13}} \\ \frac{2}{\sqrt{13}} & -\frac{3}{\sqrt{13}} \end{pmatrix}$

この直交行列 $P$ によって、$A$ は対角化されます。すなわち、$P^T A P = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -8 \end{pmatrix}$となります。

3. 最終的な答え

(1) の行列 $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ を対角化する直交行列は、$P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{pmatrix}$ です。

(2) の行列 $\begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 6 & -4 \end{pmatrix}$ を対角化する直交行列は、$P = \begin{pmatrix} \frac{3}{\sqrt{13}} & \frac{2}{\sqrt{13}} \\ \frac{2}{\sqrt{13}} & -\frac{3}{\sqrt{13}} \end{pmatrix}$ です。