与えられた行列 $A$, $B$, $c$ に対して、以下の行列の積を計算する問題です。計算不能の場合は「計算不能」と答えます。 (i) $AB$ (ii) $Bc$ (iii) $^tAc$ (iv) $Ac(^tc)$

1. 問題の内容

与えられた行列 $A$, $B$, $c$ に対して、以下の行列の積を計算する問題です。計算不能の場合は「計算不能」と答えます。

(i) $AB$

(ii) $Bc$

(iii) $^tAc$

(iv) $Ac(^tc)$

2. 解き方の手順

(i) $AB$ の計算

行列 $A$ は $2 \times 3$ 行列、行列 $B$ は $3 \times 3$ 行列なので、$AB$ は計算可能です。

$$

A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix}, \quad

B = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \\ -4 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}

$$

$AB = \begin{bmatrix} 3(1)+2(-4)+1(0) & 3(-2)+2(1)+1(1) & 3(0)+2(2)+1(3) \\ 1(1)+0(-4)+(-2)(0) & 1(-2)+0(1)+(-2)(1) & 1(0)+0(2)+(-2)(3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3-8+0 & -6+2+1 & 0+4+3 \\ 1+0+0 & -2+0-2 & 0+0-6 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 & -3 & 7 \\ 1 & -4 & -6 \end{bmatrix}$

(ii) $Bc$ の計算

行列 $B$ は $3 \times 3$ 行列、行列 $c$ は $3 \times 1$ 行列なので、$Bc$ は計算可能です。

$$

B = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \\ -4 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \end{bmatrix}, \quad

c = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{bmatrix}

$$

$Bc = \begin{bmatrix} 1(1)+(-2)(-3)+0(4) & -4(1)+1(-3)+2(4) & 0(1)+1(-3)+3(4) \end{bmatrix}^t = \begin{bmatrix} 1+6+0 \\ -4-3+8 \\ 0-3+12 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 \\ 1 \\ 9 \end{bmatrix}$

(iii) $^tAc$ の計算

行列 $A$ は $2 \times 3$ 行列なので、転置行列 $^tA$ は $3 \times 2$ 行列です。

行列 $c$ は $3 \times 1$ 行列なので、$Ac$ は計算不能です。

したがって、$^tAc$ も計算不能です。

(iv) $Ac(^tc)$ の計算

行列 $A$ は $2 \times 3$ 行列、行列 $c$ は $3 \times 1$ 行列なので、$Ac$ は計算可能です。

$$

A = \begin{bmatrix} 3 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & -2 \end{bmatrix}, \quad

c = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \\ 4 \end{bmatrix}

$$

$Ac = \begin{bmatrix} 3(1)+2(-3)+1(4) \\ 1(1)+0(-3)+(-2)(4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3-6+4 \\ 1+0-8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 \\ -7 \end{bmatrix}$

行列 $c$ は $3 \times 1$ 行列なので、転置行列 $^tc$ は $1 \times 3$ 行列です。したがって、$(^tc)$ は $1 \times 3$ 行列です。

$Ac$ は $2 \times 1$ 行列、$^tc$ は $1 \times 3$ 行列なので、$Ac(^tc)$ は $2 \times 3$ 行列になります。

$^tc = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 4 \end{bmatrix}$

$Ac(^tc) = \begin{bmatrix} 1 \\ -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(1) & 1(-3) & 1(4) \\ -7(1) & -7(-3) & -7(4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 4 \\ -7 & 21 & -28 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(i) $AB = \begin{bmatrix} -5 & -3 & 7 \\ 1 & -4 & -6 \end{bmatrix}$

(ii) $Bc = \begin{bmatrix} 7 \\ 1 \\ 9 \end{bmatrix}$

(iii) 計算不能

(iv) $Ac(^tc) = \begin{bmatrix} 1 & -3 & 4 \\ -7 & 21 & -28 \end{bmatrix}$