与えられたベクトル $c$ と行列 $A$, $B$ に対して、以下の行列の積を計算します。計算不能の場合は「計算不能」と答えます。 (i) $AB$ (ii) $Bc$ (iii) ${}^tAc$ (iv) $c{}^tcA$

1. 問題の内容

与えられたベクトル $c$ と行列 $A$, $B$ に対して、以下の行列の積を計算します。計算不能の場合は「計算不能」と答えます。

(i) $AB$

(ii) $Bc$

(iii) ${}^tAc$

(iv) $c{}^tcA$

2. 解き方の手順

(i) $AB$ を計算します。

$A$ は $3 \times 3$ 行列、$B$ は $3 \times 2$ 行列なので、$AB$ は $3 \times 2$ 行列になります。

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AB = \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ -3 & 3 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 2 & 2 \\ -7 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3(0)+0(2)+3(-7) & 3(1)+0(2)+3(5) \\ 1(0)+(-1)(2)+2(-7) & 1(1)+(-1)(2)+2(5) \\ (-3)(0)+3(2)+0(-7) & (-3)(1)+3(2)+0(5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -21 & 18 \\ -16 & 9 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}

$$$$

(ii) $Bc$ を計算します。

$B$ は $3 \times 2$ 行列、$c$ は $3 \times 1$ ベクトルなので、積 $Bc$ は計算不能です。

(iii) ${}^tAc$ を計算します。

${}^tA$ は $A$ の転置行列であり、

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{}^tA = \begin{bmatrix} 3 & 1 & -3 \\ 0 & -1 & 3 \\ 3 & 2 & 0 \end{bmatrix}

$$$$

${}^tA$ は $3 \times 3$ 行列、$c$ は $3 \times 1$ ベクトルなので、積 ${}^tAc$ は計算不能です。

(iv) $c{}^tcA$ を計算します。

${}^tc$ は $c$ の転置ベクトルであり、

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{}^tc = \begin{bmatrix} -1 & -4 & 0 \end{bmatrix}

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${}^tcA$ は $1 \times 3$ 行列となります。

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{}^tcA = \begin{bmatrix} -1 & -4 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 0 & 3 \\ 1 & -1 & 2 \\ -3 & 3 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1(3)+(-4)(1)+0(-3) & -1(0)+(-4)(-1)+0(3) & -1(3)+(-4)(2)+0(0) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -7 & 4 & -11 \end{bmatrix}

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よって、 $c{}^tcA$ は

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c{}^tcA = \begin{bmatrix} -1 \\ -4 \\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -7 & 4 & -11 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (-1)(-7) & (-1)(4) & (-1)(-11) \\ (-4)(-7) & (-4)(4) & (-4)(-11) \\ (0)(-7) & (0)(4) & (0)(-11) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 7 & -4 & 11 \\ 28 & -16 & 44 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

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3. 最終的な答え

(i) $AB = \begin{bmatrix} -21 & 18 \\ -16 & 9 \\ 6 & 3 \end{bmatrix}$

(ii) $Bc$ = 計算不能

(iii) ${}^tAc$ = 計算不能

(iv) $c{}^tcA = \begin{bmatrix} 7 & -4 & 11 \\ 28 & -16 & 44 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$