与えられた2次関数 $y = 2x^2 + 8ax - 2a - 1$ について、以下の問いに答える問題です。 (1) 放物線 C の頂点の y 座標とその最大値を求める。 (2) $-1 \le x \le 1$ における最大値を M、最小値を m とするとき、$a > \frac{1}{2}$ のときの M と m を求める。 (3) M - m = 20 となるような a の値を小さい順に 2 つ求める。

1. 問題の内容

与えられた2次関数 $y = 2x^2 + 8ax - 2a - 1$ について、以下の問いに答える問題です。

(1) 放物線 C の頂点の y 座標とその最大値を求める。

(2) $-1 \le x \le 1$ における最大値を M、最小値を m とするとき、$a > \frac{1}{2}$ のときの M と m を求める。

(3) M - m = 20 となるような a の値を小さい順に 2 つ求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた2次関数を平方完成する。

$y = 2(x^2 + 4ax) - 2a - 1$

$y = 2(x^2 + 4ax + 4a^2) - 8a^2 - 2a - 1$

$y = 2(x + 2a)^2 - 8a^2 - 2a - 1$

したがって、頂点の座標は $(-2a, -8a^2 - 2a - 1)$ となる。

頂点の y 座標は $-8a^2 - 2a - 1$ なので、7 の解答は エ: $-8a^2 - 2a - 1$

頂点の y 座標の最大値を求めるために、$-8a^2 - 2a - 1$ を平方完成する。

$-8a^2 - 2a - 1 = -8(a^2 + \frac{1}{4}a) - 1$

$= -8(a^2 + \frac{1}{4}a + \frac{1}{64}) + \frac{1}{8} - 1$

$= -8(a + \frac{1}{8})^2 - \frac{7}{8}$

これは上に凸の放物線なので、最大値は $a = -\frac{1}{8}$ のとき $-\frac{7}{8}$ となる。

したがって、8 の解答は ウ: $-\frac{7}{8}$

(2)

$a > \frac{1}{2}$ のとき、$-1 \le x \le 1$ における最大値 M、最小値 m を求める。

$f(x) = 2x^2 + 8ax - 2a - 1$ とおく。

軸は $x = -2a$ である。$a > \frac{1}{2}$ より、$-2a < -1$。

したがって、区間 $-1 \le x \le 1$ で $f(x)$ は単調増加である。

よって、最大値 M は $x = 1$ のとき、$M = f(1) = 2 + 8a - 2a - 1 = 6a + 1$

最小値 m は $x = -1$ のとき、$m = f(-1) = 2 - 8a - 2a - 1 = -10a + 1$

したがって、9 の解答は ア: $6a + 1$、10 の解答は イ: $-10a + 1$

(3)

M - m = 20 となるような a の値を求める。

M - m = $(6a + 1) - (-10a + 1) = 16a = 20$

$a = \frac{20}{16} = \frac{5}{4}$

これは $a > \frac{1}{2}$ を満たす。

軸が $x = -2a = -\frac{5}{2}$ なので、これは区間 $-1 \le x \le 1$ の外にある。

$a \le \frac{1}{2}$ のときを考える。軸が区間内に存在しうる。

軸が区間内にあるとき、$-1 \le -2a \le 1$ つまり $-\frac{1}{2} \le a \le \frac{1}{2}$ を満たす。

M は $x = -1$ または $x = 1$ のどちらか。

M = $max(6a + 1, -10a + 1)$

m は $x = -2a$ のとき、$m = -8a^2 - 2a - 1$

M - m = $max(6a + 1, -10a + 1) - (-8a^2 - 2a - 1) = 20$

$6a + 1 + 8a^2 + 2a + 1 = 20$ または $-10a + 1 + 8a^2 + 2a + 1 = 20$

$8a^2 + 8a - 18 = 0$ または $8a^2 - 8a - 18 = 0$

$4a^2 + 4a - 9 = 0$ または $4a^2 - 4a - 9 = 0$

$a = \frac{-4 \pm \sqrt{16 + 144}}{8} = \frac{-4 \pm \sqrt{160}}{8} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{10}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{10}}{2}$

$a = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 144}}{8} = \frac{4 \pm \sqrt{160}}{8} = \frac{4 \pm 4\sqrt{10}}{8} = \frac{1 \pm \sqrt{10}}{2}$

$-\frac{1}{2} \le a \le \frac{1}{2}$ である必要があるため、$\frac{-1 - \sqrt{10}}{2}$ が適する。

ただし、$M - m = (6a + 1) - (-8a^2 - 2a - 1) = 8a^2 + 8a + 2 = 20$ または $M - m = (-10a + 1) - (-8a^2 - 2a - 1) = 8a^2 - 8a + 2 = 20$

$4a^2 + 4a - 9 = 0$ または $4a^2 - 4a - 9 = 0$

$a = \frac{-1 - \sqrt{10}}{2}$ と $a = \frac{5}{4}$

小さい順に 11 の解答は イ: $\frac{-1 - \sqrt{10}}{2}$、12 の解答は イ: $\frac{5}{4}$

3. 最終的な答え

7: エ

8: ウ

9: ア

10: イ

11: イ

12: イ