(1) 行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 8 \\ 1 & -1 & 5 \\ -3 & 5 & -16 \end{bmatrix}$ の行列式 $|A|$ を求めます。 (2) 行列式 $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 4 \end{vmatrix}$ の値を求めます。 (3) (1)で示した行列Aの逆行列 $A^{-1}$ を余因子行列を用いて求め、正しく逆行列が得られたか、計算過程を示した上で検算した結果も示します。

1. 問題の内容

(1) 行列 $A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 8 \\ 1 & -1 & 5 \\ -3 & 5 & -16 \end{bmatrix}$ の行列式 $|A|$ を求めます。

(2) 行列式 $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 4 \end{vmatrix}$ の値を求めます。

(3) (1)で示した行列Aの逆行列 $A^{-1}$ を余因子行列を用いて求め、正しく逆行列が得られたか、計算過程を示した上で検算した結果も示します。

2. 解き方の手順

(1) 行列 A の行列式を計算します。

$|A| = 2 \begin{vmatrix} -1 & 5 \\ 5 & -16 \end{vmatrix} - (-1) \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ -3 & -16 \end{vmatrix} + 8 \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 5 \end{vmatrix}$

$= 2((-1)(-16) - (5)(5)) + (1(-16) - 5(-3)) + 8(1(5) - (-1)(-3))$

$= 2(16 - 25) + (-16 + 15) + 8(5 - 3)$

$= 2(-9) + (-1) + 8(2)$

$= -18 - 1 + 16$

$= -3$

(2) 4x4 行列式を計算します。

まず1列目を基準に余因子展開を行う。

$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 4 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 5 & 4 \end{vmatrix} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 5 & 4 \end{vmatrix} + 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 3 \\ 2 & 5 & 4 \end{vmatrix} - 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \end{vmatrix}$

$\begin{vmatrix} 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 5 & 4 \end{vmatrix} = 1(12-15)-4(4-6)+3(5-6) = -3+8-3=2$

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 3 & 3 \\ 2 & 5 & 4 \end{vmatrix} = 0(12-15)-1(4-6)+1(5-6) = 2-1 = 1$

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 3 \\ 2 & 5 & 4 \end{vmatrix} = 0(16-15)-1(4-6)+1(5-8) = 2-3 = -1$

$\begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 \\ 1 & 4 & 3 \\ 1 & 3 & 3 \end{vmatrix} = 0(12-9)-1(3-3)+1(3-4) = 0-0-1=-1$

したがって、 $2 - 2(1) + (-1) - (-1) = 2 - 2 - 1 + 1 = 0$

(3) 行列 A の余因子行列を求めます。

$C_{11} = \begin{vmatrix} -1 & 5 \\ 5 & -16 \end{vmatrix} = 16 - 25 = -9$

$C_{12} = - \begin{vmatrix} 1 & 5 \\ -3 & -16 \end{vmatrix} = -(-16 + 15) = 1$

$C_{13} = \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -3 & 5 \end{vmatrix} = 5 - 3 = 2$

$C_{21} = - \begin{vmatrix} -1 & 8 \\ 5 & -16 \end{vmatrix} = -(16 - 40) = 24$

$C_{22} = \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ -3 & -16 \end{vmatrix} = -32 + 24 = -8$

$C_{23} = - \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -3 & 5 \end{vmatrix} = -(10 - 3) = -7$

$C_{31} = \begin{vmatrix} -1 & 8 \\ -1 & 5 \end{vmatrix} = -5 + 8 = 3$

$C_{32} = - \begin{vmatrix} 2 & 8 \\ 1 & 5 \end{vmatrix} = -(10 - 8) = -2$

$C_{33} = \begin{vmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} = -2 + 1 = -1$

余因子行列は $C = \begin{bmatrix} -9 & 1 & 2 \\ 24 & -8 & -7 \\ 3 & -2 & -1 \end{bmatrix}$

転置行列は $C^T = \begin{bmatrix} -9 & 24 & 3 \\ 1 & -8 & -2 \\ 2 & -7 & -1 \end{bmatrix}$

逆行列は $A^{-1} = \frac{1}{|A|} C^T = \frac{1}{-3} \begin{bmatrix} -9 & 24 & 3 \\ 1 & -8 & -2 \\ 2 & -7 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -8 & -1 \\ -1/3 & 8/3 & 2/3 \\ -2/3 & 7/3 & 1/3 \end{bmatrix}$

検算: $A A^{-1} = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 8 \\ 1 & -1 & 5 \\ -3 & 5 & -16 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & -8 & -1 \\ -1/3 & 8/3 & 2/3 \\ -2/3 & 7/3 & 1/3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 + 1/3 - 16/3 & -16 - 8/3 + 56/3 & -2 - 2/3 + 8/3 \\ 3 + 1/3 - 10/3 & -8 - 8/3 + 35/3 & -1 - 2/3 + 5/3 \\ -9 - 5/3 + 32/3 & 24 + 40/3 - 112/3 & 3 + 10/3 - 16/3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 18/3 - 15/3 & -48/3 + 48/3 & -6/3 + 6/3 \\ 9/3 - 9/3 & -24/3 + 27/3 & -3/3 + 3/3 \\ -27/3 + 27/3 & 72/3 - 72/3 & 9/3 - 6/3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$

3. 最終的な答え

(1) $|A| = -3$

(2) $\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 4 & 3 \\ 1 & 1 & 3 & 3 \\ 1 & 2 & 5 & 4 \end{vmatrix} = 0$

(3) $A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -8 & -1 \\ -1/3 & 8/3 & 2/3 \\ -2/3 & 7/3 & 1/3 \end{bmatrix}$