(1) クラメルの公式を用いて、連立一次方程式 $ \begin{cases} 7x + 3y - 7z = 0 \\ -3x - y + 4z = 1 \\ -x - 2y + 6z = 0 \end{cases} $ の解のうち、$z$を求める。 (2) 4次正方行列 $ A = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 3 & 2 \\ -2 & -4 & 5 & -2 \\ 2 & 5 & 2 & -3 \\ -1 & -4 & -3 & 2 \end{bmatrix} $ の逆行列 $A^{-1}$ の (2, 3) 成分を、余因子を使って計算する。ただし、$|A| = 37$ であることを用いる。 (3) 次の行列式の値を求める。 $ \begin{vmatrix} -2 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & -2 \\ -1 & -3 & 0 & -1 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

(1) クラメルの公式を用いて、連立一次方程式

$\begin{cases} 7x + 3y - 7z = 0 \\ -3x - y + 4z = 1 \\ -x - 2y + 6z = 0 \end{cases}$

の解のうち、$z$を求める。

(2) 4次正方行列

$A = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 3 & 2 \\ -2 & -4 & 5 & -2 \\ 2 & 5 & 2 & -3 \\ -1 & -4 & -3 & 2 \end{bmatrix}$

の逆行列 $A^{-1}$ の (2, 3) 成分を、余因子を使って計算する。ただし、$|A| = 37$ であることを用いる。

(3) 次の行列式の値を求める。

$\begin{vmatrix} -2 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & -2 \\ -1 & -3 & 0 & -1 \end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) クラメルの公式を用いる。

与えられた連立一次方程式を行列で表現すると、

$\begin{bmatrix} 7 & 3 & -7 \\ -3 & -1 & 4 \\ -1 & -2 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$

係数行列を$A$とする。

$A = \begin{bmatrix} 7 & 3 & -7 \\ -3 & -1 & 4 \\ -1 & -2 & 6 \end{bmatrix}$

$|A| = 7(-6+8) - 3(-18+4) -7(6-1) = 14 + 42 - 35 = 21$

$z$を求めるために、$A$の3列目を右辺のベクトルで置き換えた行列$A_z$の行列式を計算する。

$A_z = \begin{bmatrix} 7 & 3 & 0 \\ -3 & -1 & 1 \\ -1 & -2 & 0 \end{bmatrix}$

$|A_z| = 7(0+2) - 3(0+1) + 0 = 14 - 3 = 11$

クラメルの公式より、$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{11}{21}$

(2) 余因子を用いる。

$A^{-1}$の(2,3)成分は、$\frac{1}{|A|} C_{32}$で与えられる。ここで、$C_{32}$は$A$の(3,2)成分の余因子。

$C_{32} = (-1)^{3+2} M_{32}$

$M_{32}$は$A$から3行と2列を取り除いた行列の行列式である。

$M_{32} = \begin{vmatrix} 0 & 3 & 2 \\ -2 & 5 & -2 \\ -1 & -3 & 2 \end{vmatrix}$

$M_{32} = 0(10-6) - 3(-4-2) + 2(6+5) = 0 + 18 + 22 = 40$

$C_{32} = (-1)^{5} M_{32} = -40$

したがって、$A^{-1}$の(2,3)成分は$\frac{1}{37}(-40) = -\frac{40}{37}$

(3) 行列式の計算

与えられた行列式を計算する。3行目に関して展開する。

$\begin{vmatrix} -2 & 0 & -1 & 1 \\ 1 & -3 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & 1 & -2 \\ -1 & -3 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 1 \cdot C_{31} + 0 \cdot C_{32} + 1 \cdot C_{33} + (-2) \cdot C_{34}$

$C_{31} = (-1)^{3+1} \begin{vmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -3 & 1 & -1 \\ -3 & 0 & -1 \end{vmatrix} = 0(-1-0) - (-1)(3-3) + 1(0+3) = 3$

$C_{33} = (-1)^{3+3} \begin{vmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 1 & -3 & -1 \\ -1 & -3 & -1 \end{vmatrix} = -2(3-3) - 0(-1-1) + 1(-3-3) = -6$

$C_{34} = (-1)^{3+4} \begin{vmatrix} -2 & 0 & -1 \\ 1 & -3 & 1 \\ -1 & -3 & 0 \end{vmatrix} = -1(-2(0+3) -0 + (-1)(-3-3)) = -1( -6 + 6) = 0$

行列式 = $1(3) + 0 + 1(-6) + (-2)(0) = 3 - 6 + 0 = -3$

3. 最終的な答え

(1) $z = \frac{11}{21}$

(2) $A^{-1}$ の (2, 3) 成分 = $-\frac{40}{37}$

(3) 行列式 = $-3$