与えられた2つの行列に対して、それぞれの固有値と固有ベクトルを求める問題です。 (1) は行列 $\begin{pmatrix} 7 & 10 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求めます。 (2) は行列 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求めます。

1. 問題の内容

与えられた2つの行列に対して、それぞれの固有値と固有ベクトルを求める問題です。

(1) は行列 $\begin{pmatrix} 7 & 10 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求めます。

(2) は行列 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}$ の固有値と固有ベクトルを求めます。

2. 解き方の手順

(1) の行列 $A = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}$ について：

ステップ1: 固有方程式 $|A - \lambda I| = 0$ を解き、固有値 $\lambda$ を求めます。ここで、$I$ は単位行列です。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 7 - \lambda & 10 \\ -3 & -4 - \lambda \end{vmatrix} = (7 - \lambda)(-4 - \lambda) - (10)(-3) = 0$

$\lambda^2 - 3\lambda - 28 + 30 = 0$

$\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0$

$(\lambda - 1)(\lambda - 2) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = 1$ と $\lambda_2 = 2$ です。

ステップ2: 各固有値に対する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 1$ のとき、$(A - \lambda_1 I)v_1 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 7 - 1 & 10 \\ -3 & -4 - 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 6 & 10 \\ -3 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$6x + 10y = 0$

$-3x - 5y = 0$

$3x + 5y = 0$

$x = -\frac{5}{3}y$

$v_1 = \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \end{pmatrix}$ (例えば、$y = 3$ とすると $x = -5$)

$\lambda_2 = 2$ のとき、$(A - \lambda_2 I)v_2 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 7 - 2 & 10 \\ -3 & -4 - 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix} 5 & 10 \\ -3 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$5x + 10y = 0$

$-3x - 6y = 0$

$x + 2y = 0$

$x = -2y$

$v_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ (例えば、$y = 1$ とすると $x = -2$)

(2) の行列 $B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}$ について：

ステップ1: 固有方程式 $|B - \lambda I| = 0$ を解き、固有値 $\lambda$ を求めます。

$|B - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1 - \lambda & 2 & 3 \\ 0 & 1 - \lambda & -3 \\ 0 & -3 & 1 - \lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda) \begin{vmatrix} 1-\lambda & -3 \\ -3 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda)((1-\lambda)^2 - 9) = 0$

$(1-\lambda)(\lambda^2 - 2\lambda + 1 - 9) = 0$

$(1-\lambda)(\lambda^2 - 2\lambda - 8) = 0$

$(1-\lambda)(\lambda - 4)(\lambda + 2) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 4$, $\lambda_3 = -2$ です。

ステップ2: 各固有値に対する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 1$ のとき、$(B - \lambda_1 I)v_1 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & -3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2y + 3z = 0$

$-3z = 0$

$-3y = 0$

$y = 0, z = 0$

$v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ (例えば、$x = 1$)

$\lambda_2 = 4$ のとき、$(B - \lambda_2 I)v_2 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} -3 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -3 \\ 0 & -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-3x + 2y + 3z = 0$

$-3y - 3z = 0$

$y = -z$

$-3x - 2z + 3z = 0$

$-3x + z = 0$

$z = 3x$

$y = -3x$

$v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}$ (例えば、$x = 1$)

$\lambda_3 = -2$ のとき、$(B - \lambda_3 I)v_3 = 0$ を解きます。

$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \\ 0 & -3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$3x + 2y + 3z = 0$

$3y - 3z = 0$

$y = z$

$3x + 2z + 3z = 0$

$3x + 5z = 0$

$x = -\frac{5}{3}z$

$v_3 = \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ (例えば、$z = 3$)

3. 最終的な答え

(1) 行列 $\begin{pmatrix} 7 & 10 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}$ の固有値は $\lambda_1 = 1$ と $\lambda_2 = 2$ です。

固有ベクトルはそれぞれ $v_1 = \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \end{pmatrix}$ と $v_2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ です。

(2) 行列 $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}$ の固有値は $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 4$, $\lambda_3 = -2$ です。

固有ベクトルはそれぞれ $v_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $v_2 = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}$, $v_3 = \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ です。