次の2つの対称行列を、適切な直交行列を用いて対角化します。 (1) $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 6 & -4 \end{pmatrix}$

はい、承知しました。与えられた対称行列を直交行列で対角化する問題を解きます。

1. 問題の内容

次の2つの対称行列を、適切な直交行列を用いて対角化します。

(1) $\begin{pmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$

(2) $\begin{pmatrix} 1 & 6 \\ 6 & -4 \end{pmatrix}$

2. 解き方の手順

(1) の行列を $A$、(2) の行列を $B$ とします。

(1) 行列 $A$ の対角化

まず、行列 $A$ の固有値を求めます。特性方程式は

$det(A - \lambda I) = 0$

$\begin{vmatrix} 3 - \lambda & -1 \\ -1 & 3 - \lambda \end{vmatrix} = (3 - \lambda)^2 - 1 = \lambda^2 - 6\lambda + 8 = (\lambda - 2)(\lambda - 4) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 2$ と $\lambda_2 = 4$ です。

次に、各固有値に対する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 2$ のとき、$(A - 2I)v_1 = 0$

$\begin{pmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$x - y = 0$ より $x = y$ 。したがって、固有ベクトルは $v_1 = c_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ 。

$\lambda_2 = 4$ のとき、$(A - 4I)v_2 = 0$

$\begin{pmatrix} -1 & -1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-x - y = 0$ より $x = -y$ 。したがって、固有ベクトルは $v_2 = c_2 \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ 。

固有ベクトルを正規化します。

$||v_1|| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$, $||v_2|| = \sqrt{1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$

正規化された固有ベクトルは $u_1 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ と $u_2 = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ 。

直交行列 $P$ は、$u_1$ と $u_2$ を列ベクトルとして持つ行列です。

$P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

対角行列 $D$ は、固有値を対角成分に持つ行列です。

$D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

このとき、$P^TAP = D$ となります。

(2) 行列 $B$ の対角化

まず、行列 $B$ の固有値を求めます。特性方程式は

$det(B - \lambda I) = 0$

$\begin{vmatrix} 1 - \lambda & 6 \\ 6 & -4 - \lambda \end{vmatrix} = (1 - \lambda)(-4 - \lambda) - 36 = \lambda^2 + 3\lambda - 40 = (\lambda - 5)(\lambda + 8) = 0$

したがって、固有値は $\lambda_1 = 5$ と $\lambda_2 = -8$ です。

次に、各固有値に対する固有ベクトルを求めます。

$\lambda_1 = 5$ のとき、$(B - 5I)v_1 = 0$

$\begin{pmatrix} -4 & 6 \\ 6 & -9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-4x + 6y = 0$ より $2x = 3y$ 。したがって、固有ベクトルは $v_1 = c_1 \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ 。

$\lambda_2 = -8$ のとき、$(B + 8I)v_2 = 0$

$\begin{pmatrix} 9 & 6 \\ 6 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$3x + 2y = 0$ より $3x = -2y$ 。したがって、固有ベクトルは $v_2 = c_2 \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ 。

固有ベクトルを正規化します。

$||v_1|| = \sqrt{3^2 + 2^2} = \sqrt{13}$, $||v_2|| = \sqrt{2^2 + (-3)^2} = \sqrt{13}$

正規化された固有ベクトルは $u_1 = \frac{1}{\sqrt{13}} \begin{pmatrix} 3 \\ 2 \end{pmatrix}$ と $u_2 = \frac{1}{\sqrt{13}} \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \end{pmatrix}$ 。

直交行列 $P$ は、$u_1$ と $u_2$ を列ベクトルとして持つ行列です。

$P = \frac{1}{\sqrt{13}} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$

対角行列 $D$ は、固有値を対角成分に持つ行列です。

$D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -8 \end{pmatrix}$

このとき、$P^TBP = D$ となります。

3. 最終的な答え

(1)

$P = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 4 \end{pmatrix}$

(2)

$P = \frac{1}{\sqrt{13}} \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 2 & -3 \end{pmatrix}$, $D = \begin{pmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -8 \end{pmatrix}$