$x$ についての2次方程式 $x^2 + ax + a + 1 = 0$ の2つの解の差が $1$ となる定数 $a$ の値をすべて求める。

1. 問題の内容

$x$ についての2次方程式 $x^2 + ax + a + 1 = 0$ の2つの解の差が $1$ となる定数 $a$ の値をすべて求める。

2. 解き方の手順

2次方程式 $x^2 + ax + a + 1 = 0$ の解を $\alpha, \beta$ とする。解と係数の関係より、

$$\alpha + \beta = -a$$

$$\alpha \beta = a + 1$$

また、解の差が $1$ であるから、

$$|\alpha - \beta| = 1$$

$(\alpha - \beta)^2 = 1$ である。$(\alpha - \beta)^2$ を展開すると、

$$\alpha^2 - 2\alpha\beta + \beta^2 = 1$$

$$(\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta = 1$$

$\alpha + \beta = -a$、$\alpha\beta = a + 1$ を代入すると、

$$(-a)^2 - 4(a + 1) = 1$$

$$a^2 - 4a - 4 = 1$$

$$a^2 - 4a - 5 = 0$$

$$(a - 5)(a + 1) = 0$$

$$a = 5, -1$$

3. 最終的な答え

$a = 5, -1$