与えられた2つの行列について、それぞれの固有値と固有ベクトルを求める問題です。

1. 問題の内容

与えられた2つの行列について、それぞれの固有値と固有ベクトルを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}$ について

* 固有方程式を立てる。

固有方程式は、$|A - \lambda I| = 0$ であり、ここで $I$ は単位行列、$\lambda$ は固有値を表します。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 7-\lambda & 10 \\ -3 & -4-\lambda \end{vmatrix} = (7-\lambda)(-4-\lambda) - (10)(-3) = 0$

これを展開すると、$\lambda^2 - 3\lambda - 28 + 30 = \lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0$

* 固有方程式を解く。

$(\lambda - 1)(\lambda - 2) = 0$

よって、固有値は $\lambda_1 = 1$ と $\lambda_2 = 2$

* 固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = 1$ のとき、$(A - \lambda_1 I) \vec{v_1} = \vec{0}$

$\begin{pmatrix} 6 & 10 \\ -3 & -5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$6x + 10y = 0$ より、$3x + 5y = 0$

よって、固有ベクトル $\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$ (またはその定数倍)

$\lambda_2 = 2$ のとき、$(A - \lambda_2 I) \vec{v_2} = \vec{0}$

$\begin{pmatrix} 5 & 10 \\ -3 & -6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$5x + 10y = 0$ より、$x + 2y = 0$

よって、固有ベクトル $\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ (またはその定数倍)

(2) 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}$ について

* 固有方程式を立てる。

$|A - \lambda I| = \begin{vmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ 0 & 1-\lambda & -3 \\ 0 & -3 & 1-\lambda \end{vmatrix} = (1-\lambda) \begin{vmatrix} 1-\lambda & -3 \\ -3 & 1-\lambda \end{vmatrix} = 0$

$(1-\lambda)((1-\lambda)^2 - 9) = (1-\lambda)(\lambda^2 - 2\lambda + 1 - 9) = (1-\lambda)(\lambda^2 - 2\lambda - 8) = 0$

$(1-\lambda)(\lambda - 4)(\lambda + 2) = 0$

* 固有方程式を解く。

よって、固有値は $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 4$, $\lambda_3 = -2$

* 固有ベクトルを求める。

$\lambda_1 = 1$ のとき、$(A - \lambda_1 I) \vec{v_1} = \vec{0}$

$\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 0 & 0 & -3 \\ 0 & -3 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$2y + 3z = 0$, $-3z = 0$, $-3y = 0$

よって、$y = 0$, $z = 0$ より、$\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$ (またはその定数倍)

$\lambda_2 = 4$ のとき、$(A - \lambda_2 I) \vec{v_2} = \vec{0}$

$\begin{pmatrix} -3 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -3 \\ 0 & -3 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$-3x + 2y + 3z = 0$, $-3y - 3z = 0$ より $y = -z$

$-3x - 2z + 3z = 0$ より $-3x + z = 0$ つまり $z = 3x$

$y = -3x$

よって、$\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}$ (またはその定数倍)

$\lambda_3 = -2$ のとき、$(A - \lambda_3 I) \vec{v_3} = \vec{0}$

$\begin{pmatrix} 3 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -3 \\ 0 & -3 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$

$3x + 2y + 3z = 0$, $3y - 3z = 0$ より $y = z$

$3x + 2z + 3z = 0$ より $3x + 5z = 0$ つまり $x = -\frac{5}{3}z$

よって、$\vec{v_3} = \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$ (またはその定数倍)

3. 最終的な答え

(1) 行列 $A = \begin{pmatrix} 7 & 10 \\ -3 & -4 \end{pmatrix}$

固有値: $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 2$

固有ベクトル: $\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}$, $\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$

(2) 行列 $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -3 \\ 0 & -3 & 1 \end{pmatrix}$

固有値: $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 4$, $\lambda_3 = -2$

固有ベクトル: $\vec{v_1} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{v_2} = \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}$, $\vec{v_3} = \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}$