複素数 $z$ が与えられた等式 $|iz+3| = |2z-6|$ を満たすとき、以下の問いに答える問題です。 (1) 等式を満たす点 $z$ 全体が表す図形を求める。 (2) $z - \overline{z} = 0$ を満たす $z$ を求める。 (3) $|z+i|$ の最大値を求める。

1. 問題の内容

複素数 $z$ が与えられた等式 $|iz+3| = |2z-6|$ を満たすとき、以下の問いに答える問題です。

(1) 等式を満たす点 $z$ 全体が表す図形を求める。

(2) $z - \overline{z} = 0$ を満たす $z$ を求める。

(3) $|z+i|$ の最大値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $z = x + yi$ ($x, y$ は実数) とおくと、

$|i(x+yi) + 3| = |2(x+yi) - 6|$

$|ix - y + 3| = |2x - 6 + 2yi|$

$|(3-y) + xi| = |(2x-6) + 2yi|$

$\sqrt{(3-y)^2 + x^2} = \sqrt{(2x-6)^2 + (2y)^2}$

両辺を2乗して

$(3-y)^2 + x^2 = (2x-6)^2 + 4y^2$

$9 - 6y + y^2 + x^2 = 4x^2 - 24x + 36 + 4y^2$

$3x^2 - 24x + 3y^2 + 6y + 27 = 0$

$x^2 - 8x + y^2 + 2y + 9 = 0$

$(x^2 - 8x + 16) + (y^2 + 2y + 1) = 16 + 1 - 9$

$(x-4)^2 + (y+1)^2 = 8$

これは中心 $(4, -1)$, 半径 $\sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ の円を表します。

(2) $z = x + yi$ とおくと、$\overline{z} = x - yi$ より、

$z - \overline{z} = (x + yi) - (x - yi) = 2yi = 0$

よって、$y = 0$ となり、$z = x$ （実数）となります。

(1) の結果から、$(x-4)^2 + (0+1)^2 = 8$ を満たす必要があります。

$(x-4)^2 = 7$

$x = 4 \pm \sqrt{7}$

したがって、$z = 4 \pm \sqrt{7}$

(3) $|z+i| = |x + yi + i| = |x + (y+1)i| = \sqrt{x^2 + (y+1)^2}$

これは点 $z(x, y)$ と点 $(0, -1)$ の距離を表します。

(1) より、$z$ は中心 $(4, -1)$, 半径 $2\sqrt{2}$ の円周上にあります。

点 $(0, -1)$ から円の中心 $(4, -1)$ までの距離は 4 です。

したがって、|z+i| の最大値は $4 + 2\sqrt{2}$ です。

3. 最終的な答え

(1) 中心 $(4, -1)$, 半径 $2\sqrt{2}$ の円

(2) $z = 4 \pm \sqrt{7}$

(3) $4 + 2\sqrt{2}$