点 $A(1, 1)$ に関して、曲線 $y = x^2 + ax + b$ と対称な曲線が原点 $O(0, 0)$ を通る。このとき、$a$ と $b$ の間の関係を表す式を求める。

1. 問題の内容

点 $A(1, 1)$ に関して、曲線 $y = x^2 + ax + b$ と対称な曲線が原点 $O(0, 0)$ を通る。このとき、$a$ と $b$ の間の関係を表す式を求める。

2. 解き方の手順

点 $A(1, 1)$ に関して点 $(x, y)$ と対称な点 $(x', y')$ は、

$x' = 2 - x$

$y' = 2 - y$

を満たす。

よって、$x = 2 - x'$、$y = 2 - y'$ である。

$y = x^2 + ax + b$ に代入すると、

$2 - y' = (2 - x')^2 + a(2 - x') + b$

$2 - y' = 4 - 4x' + x'^2 + 2a - ax' + b$

$y' = -x'^2 + (4 + a)x' - 2 - 2a - b$

この曲線が原点を通るので、$(x', y') = (0, 0)$ を代入すると、

$0 = 0 + 0 - 2 - 2a - b$

$2 + 2a + b = 0$

$b = -2a - 2$

3. 最終的な答え

$b = -2a - 2$