(1) クラメルの公式を用いて、次の連立一次方程式の解のうち、$z$を求めます。 $ \begin{cases} 7x + 3y - 7z = 0 \\ -3x - y + 4z = 1 \\ -x - 2y + 6z = 0 \end{cases} $ (2) 4次正方行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ の(2,3)成分を、余因子を使って計算します。ただし、$A$ の行列式の値 $|A| = 37$ を用いて良いです。 $ A = \begin{bmatrix} 0 & 3 & 3 & 2 \\ -2 & -4 & 5 & -2 \\ 2 & 5 & 2 & -3 \\ -1 & -4 & -3 & 2 \end{bmatrix} $

## 問題の回答

1. 問題の内容

(1) クラメルの公式を用いて、次の連立一次方程式の解のうち、$z$を求めます。

$ \begin{cases}

7x + 3y - 7z = 0 \\

-3x - y + 4z = 1 \\

-x - 2y + 6z = 0

\end{cases} $

(2) 4次正方行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ の(2,3)成分を、余因子を使って計算します。ただし、$A$ の行列式の値 $|A| = 37$ を用いて良いです。

$ A = \begin{bmatrix}

0 & 3 & 3 & 2 \\

-2 & -4 & 5 & -2 \\

2 & 5 & 2 & -3 \\

-1 & -4 & -3 & 2

\end{bmatrix} $

2. 解き方の手順

(1) クラメルの公式

与えられた連立一次方程式を行列で表すと次のようになります。

$ \begin{bmatrix}

7 & 3 & -7 \\

-3 & -1 & 4 \\

-1 & -2 & 6

\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}

x \\ y \\ z

\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix}

0 \\ 1 \\ 0

\end{bmatrix} $

係数行列を $A$ とすると、

$ A = \begin{bmatrix}

7 & 3 & -7 \\

-3 & -1 & 4 \\

-1 & -2 & 6

\end{bmatrix} $

$A$の行列式 $|A|$ を計算します。

$|A| = 7((-1)(6) - (4)(-2)) - 3((-3)(6) - (4)(-1)) + (-7)((-3)(-2) - (-1)(-1))$

$|A| = 7(-6 + 8) - 3(-18 + 4) - 7(6 - 1)$

$|A| = 7(2) - 3(-14) - 7(5)$

$|A| = 14 + 42 - 35$

$|A| = 21$

次に、$z$ を求めるために、$A$ の第3列を右辺のベクトルで置き換えた行列 $A_z$ を考えます。

$ A_z = \begin{bmatrix}

7 & 3 & 0 \\

-3 & -1 & 1 \\

-1 & -2 & 0

\end{bmatrix} $

$A_z$の行列式 $|A_z|$ を計算します。

$|A_z| = 7((-1)(0) - (1)(-2)) - 3((-3)(0) - (1)(-1)) + 0((-3)(-2) - (-1)(-1))$

$|A_z| = 7(0 + 2) - 3(0 + 1) + 0(6 - 1)$

$|A_z| = 14 - 3 + 0$

$|A_z| = 11$

クラメルの公式より、$z = \frac{|A_z|}{|A|}$ です。

(2) 余因子による逆行列の成分の計算

行列 $A$ の逆行列 $A^{-1}$ の (2,3) 成分は、余因子 $C_{3,2}$ を用いて、

$(A^{-1})_{2,3} = \frac{C_{3,2}}{|A|}$

で与えられます。

$C_{3,2}$ は、行列 $A$ から第3行と第2列を取り除いた行列の行列式に $(-1)^{3+2} = -1$ をかけたものです。

$A$ から第3行と第2列を取り除いた行列は

$ \begin{bmatrix}

0 & 3 & 2 \\

-2 & 5 & -2 \\

-1 & -3 & 2

\end{bmatrix} $

この行列の行列式を計算します。

$det = 0(5 \cdot 2 - (-2)(-3)) - 3((-2)\cdot 2 - (-2)(-1)) + 2((-2)(-3) - 5(-1))$

$det = 0 - 3(-4-2) + 2(6+5)$

$det = 0 - 3(-6) + 2(11)$

$det = 18 + 22 = 40$

したがって、$C_{3,2} = (-1)^{3+2} \cdot 40 = -40$

与えられた $|A| = 37$ を用いて、

$(A^{-1})_{2,3} = \frac{-40}{37}$

3. 最終的な答え

(1) $z = \frac{11}{21}$

(2) $(A^{-1})_{2,3} = -\frac{40}{37}$