与えられた式を簡略化する問題です。式は以下です。 $\frac{x-y}{x+y} + \frac{2xy}{x^2-y^2}$

## (5) の問題

1. 問題の内容

与えられた式を簡略化する問題です。式は以下です。

$\frac{x-y}{x+y} + \frac{2xy}{x^2-y^2}$

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - y^2$ を因数分解します。

$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$

次に、与えられた式を通分します。

$\frac{x-y}{x+y} + \frac{2xy}{(x+y)(x-y)} = \frac{(x-y)(x-y)}{(x+y)(x-y)} + \frac{2xy}{(x+y)(x-y)}$

分子をまとめます。

$\frac{(x-y)^2 + 2xy}{(x+y)(x-y)} = \frac{x^2 - 2xy + y^2 + 2xy}{(x+y)(x-y)}$

分子を簡略化します。

$\frac{x^2 + y^2}{(x+y)(x-y)}$

したがって、

$\frac{x^2 + y^2}{x^2 - y^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{x^2+y^2}{x^2-y^2}$

## (6) の問題

1. 問題の内容

与えられた式を簡略化する問題です。式は以下です。

$\frac{\frac{1}{x^2-1}}{\frac{x^2-x-2}{2}}$

2. 解き方の手順

まず、$x^2 - 1$ と $x^2 - x - 2$ を因数分解します。

$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$

$x^2 - x - 2 = (x-2)(x+1)$

与えられた式を書き換えます。

$\frac{\frac{1}{(x-1)(x+1)}}{\frac{(x-2)(x+1)}{2}} = \frac{1}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{2}{(x-2)(x+1)}$

簡略化します。

$\frac{2}{(x-1)(x+1)^2(x-2)}$

3. 最終的な答え

$\frac{2}{(x-1)(x+1)^2(x-2)}$

## (7) の問題

1. 問題の内容

与えられた式を簡略化する問題です。式は以下です。

$\frac{1}{\frac{a-1}{a}}$

2. 解き方の手順

分母を簡略化します。

$\frac{a-1}{a} = \frac{a}{a} - \frac{1}{a} = \frac{a-1}{a}$

与えられた式を書き換えます。

$\frac{1}{\frac{a-1}{a}} = 1 \cdot \frac{a}{a-1}$

簡略化します。

$\frac{a}{a-1}$

3. 最終的な答え

$\frac{a}{a-1}$

## (8) の問題

1. 問題の内容

与えられた式を簡略化する問題です。式は以下です。

$\frac{\frac{x}{y}}{\frac{1}{x} + \frac{1}{y}}$

2. 解き方の手順

分母を通分します。

$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y}{xy} + \frac{x}{xy} = \frac{x+y}{xy}$

与えられた式を書き換えます。

$\frac{\frac{x}{y}}{\frac{x+y}{xy}} = \frac{x}{y} \cdot \frac{xy}{x+y}$

簡略化します。

$\frac{x^2}{x+y}$

3. 最終的な答え

$\frac{x^2}{x+y}$

## (9) の問題

1. 問題の内容

与えられた式を簡略化する問題です。式は以下です。

$\frac{x}{1 - \frac{1}{x+2}}$

2. 解き方の手順

分母を簡略化します。

$1 - \frac{1}{x+2} = \frac{x+2}{x+2} - \frac{1}{x+2} = \frac{x+2-1}{x+2} = \frac{x+1}{x+2}$

与えられた式を書き換えます。

$\frac{x}{\frac{x+1}{x+2}} = x \cdot \frac{x+2}{x+1}$

簡略化します。

$\frac{x(x+2)}{x+1} = \frac{x^2 + 2x}{x+1}$

3. 最終的な答え

$\frac{x(x+2)}{x+1}$ あるいは $\frac{x^2+2x}{x+1}$