与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は次の通りです。 $\begin{vmatrix} 2 & -4 & -5 & 3 \\ -6 & 13 & 14 & 1 \\ 1 & -2 & -2 & -8 \\ 2 & -5 & 0 & 5 \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算する問題です。行列は次の通りです。

$\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

-6 & 13 & 14 & 1 \\

1 & -2 & -2 & -8 \\

2 & -5 & 0 & 5

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、行基本変形を用いて計算を簡略化します。

まず、1行目を基準にして、他の行の最初の要素を0にします。

2行目に1行目の3倍を加えます。

3行目に1行目の-1/2倍を加えます。

4行目に1行目の-1倍を加えます。

$\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

0 & 1 & -1 & 10 \\

0 & 0 & 1/2 & -25/2 \\

0 & -1 & 5 & 2

\end{vmatrix}$

次に、2行目を基準にして、他の行の2番目の要素を0にします。

4行目に2行目を加えます。

$\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

0 & 1 & -1 & 10 \\

0 & 0 & 1/2 & -25/2 \\

0 & 0 & 4 & 12

\end{vmatrix}$

次に、3行目を基準にして、4行目の3番目の要素を0にします。

4行目に3行目の-8倍を加えます。

$\begin{vmatrix}

2 & -4 & -5 & 3 \\

0 & 1 & -1 & 10 \\

0 & 0 & 1/2 & -25/2 \\

0 & 0 & 0 & 112

\end{vmatrix}$

この行列は上三角行列なので、行列式は対角成分の積で計算できます。

$2 * 1 * \frac{1}{2} * 112 = 112$

3. 最終的な答え

112