複素数平面上の点A, B, C, D, Eに対応する複素数を求める問題です。

1. 問題の内容

複素数平面上の点A, B, C, D, Eに対応する複素数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、原点Oの複素数は0です。次に、各点について、原点からの距離と偏角を読み取り、複素数を求めます。

* 点A: 原点からの距離は$\sqrt{2}$、偏角は45°なので、$A = \sqrt{2}(\cos{45°} + i\sin{45°}) = \sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2} + i\frac{\sqrt{2}}{2}) = 1 + i$

* 点B: 原点からの距離は2、∠AOB = 60°+45° = 105°なので、偏角は105°。

$B = 2(\cos{105°} + i\sin{105°})$.

三角関数の加法定理より、

$\cos{105°} = \cos(60°+45°) = \cos{60°}\cos{45°} - \sin{60°}\sin{45°} = \frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4}$

$\sin{105°} = \sin(60°+45°) = \sin{60°}\cos{45°} + \cos{60°}\sin{45°} = \frac{\sqrt{3}}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{1}{2}\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$

よって、$B = 2(\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{4} + i\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}) = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

* 点C: 原点からの距離は2、偏角は60°+90° = 150°なので、$C = 2(\cos{150°} + i\sin{150°}) = 2(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i\frac{1}{2}) = -\sqrt{3} + i$

* 点D: 実軸上にあり、値は-1なので、$D = -1$

* 点E: 虚軸上にあり、$z = \frac{10}{4-3i}$を計算することで求められます。$z = \frac{10(4+3i)}{(4-3i)(4+3i)} = \frac{10(4+3i)}{16+9} = \frac{10(4+3i)}{25} = \frac{2(4+3i)}{5} = \frac{8}{5} + \frac{6}{5}i$

Eは$\frac{8}{5} + \frac{6}{5}i$の実部が0となる点なので、Eの実部が0となるような複素数を求める。

原点からの距離が2なのでEは-2iとなる。

$E = -2i$

3. 最終的な答え

* A: $1 + i$

* B: $\frac{\sqrt{2} - \sqrt{6}}{2} + i\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$

* C: $-\sqrt{3} + i$

* D: $-1$

* E: $-2i$