数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 0$, $a_{n+1} = 2a_n + (-1)^{n+1}$ ($n \ge 1$) で定義されている。 (1) $b_n = \frac{a_n}{2^n}$ とおくとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ で表せ。 (2) $b_n$ を求めよ。 (3) $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 0$, $a_{n+1} = 2a_n + (-1)^{n+1}$ ($n \ge 1$) で定義されている。

(1) $b_n = \frac{a_n}{2^n}$ とおくとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ で表せ。

(2) $b_n$ を求めよ。

(3) $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $b_{n+1}$ を $b_n$ で表す。

$b_{n+1} = \frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}$ である。$a_{n+1} = 2a_n + (-1)^{n+1}$ を代入すると、

$$b_{n+1} = \frac{2a_n + (-1)^{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{2a_n}{2^{n+1}} + \frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{a_n}{2^n} + \frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}$$

$b_n = \frac{a_n}{2^n}$ であるから、

$$b_{n+1} = b_n + \frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}$$

(2) $b_n$ を求める。

$b_{n+1} - b_n = \frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}$ であるから、

$n \ge 2$ のとき、

$$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (b_{k+1} - b_k) = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{2^{k+1}}$$

$b_1 = \frac{a_1}{2^1} = \frac{0}{2} = 0$ であるから、

$$b_n = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k+1}}{2^{k+1}} = \sum_{k=1}^{n-1} \left(-\frac{1}{2}\right)^{k+1} \left(-\frac{1}{2}\right)^{-1} \left(-\frac{1}{2}\right) = \sum_{k=1}^{n-1} \frac{1}{(-2)^{k+1}}$$

$$= \frac{1}{4} \sum_{k=0}^{n-2} \left(-\frac{1}{2}\right)^{k} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - (-\frac{1}{2})^{n-1}}{1 - (-\frac{1}{2})} = \frac{1}{4} \cdot \frac{1 - (-\frac{1}{2})^{n-1}}{\frac{3}{2}} = \frac{1}{6} \left( 1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right)$$

$n=1$ のとき、$b_1 = 0$ であり、$\frac{1}{6} \left( 1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{1-1} \right) = \frac{1}{6} (1-1) = 0$ となり、成り立つ。

したがって、$b_n = \frac{1}{6} \left( 1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right)$

(3) $a_n$ を求める。

$a_n = 2^n b_n$ であるから、

$$a_n = 2^n \cdot \frac{1}{6} \left( 1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right) = \frac{2^n}{6} \left( 1 - \frac{(-1)^{n-1}}{2^{n-1}} \right) = \frac{2^n}{6} - \frac{2^n (-1)^{n-1}}{6 \cdot 2^{n-1}} = \frac{2^n}{6} - \frac{2 (-1)^{n-1}}{6} = \frac{2^n - 2(-1)^{n-1}}{6}$$

$$= \frac{2^{n-1} - (-1)^{n-1}}{3}$$

3. 最終的な答え

(1) $b_{n+1} = b_n + \frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}$

(2) $b_n = \frac{1}{6} \left( 1 - \left(-\frac{1}{2}\right)^{n-1} \right)$

(3) $a_n = \frac{2^{n-1} - (-1)^{n-1}}{3}$