与えられた5x5行列の行列式を計算します。行列は次のとおりです。 $ \begin{vmatrix} 3 & 5 & 1 & 2 & 1 \\ 2 & 6 & 0 & 9 & 3 \\ 3 & 6 & 7 & 1 & 2 \\ 2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 5 & 0 & 0 & 0 \end{vmatrix} $

1. 問題の内容

与えられた5x5行列の行列式を計算します。行列は次のとおりです。

$$

\begin{vmatrix}

3 & 5 & 1 & 2 & 1 \\

2 & 6 & 0 & 9 & 3 \\

3 & 6 & 7 & 1 & 2 \\

2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\

1 & 5 & 0 & 0 & 0

\end{vmatrix}

$$

2. 解き方の手順

この行列式を計算するために、第4行と第5行にある多くの0を利用します。まず、第4行で展開すると、

$$

\begin{aligned}

\begin{vmatrix}

3 & 5 & 1 & 2 & 1 \\

2 & 6 & 0 & 9 & 3 \\

3 & 6 & 7 & 1 & 2 \\

2 & 7 & 0 & 0 & 0 \\

1 & 5 & 0 & 0 & 0

\end{vmatrix}

&= 2 \cdot (-1)^{4+1} \begin{vmatrix}

5 & 1 & 2 & 1 \\

6 & 0 & 9 & 3 \\

6 & 7 & 1 & 2 \\

5 & 0 & 0 & 0

\end{vmatrix}

+ 7 \cdot (-1)^{4+2} \begin{vmatrix}

3 & 1 & 2 & 1 \\

2 & 0 & 9 & 3 \\

3 & 7 & 1 & 2 \\

1 & 0 & 0 & 0

\end{vmatrix} \\

&= -2 \begin{vmatrix}

5 & 1 & 2 & 1 \\

6 & 0 & 9 & 3 \\

6 & 7 & 1 & 2 \\

5 & 0 & 0 & 0

\end{vmatrix}

+ 7 \begin{vmatrix}

3 & 1 & 2 & 1 \\

2 & 0 & 9 & 3 \\

3 & 7 & 1 & 2 \\

1 & 0 & 0 & 0

\end{vmatrix}

\end{aligned}

$$

次に、最初の4x4行列を第4行で展開すると、

$$

\begin{vmatrix}

5 & 1 & 2 & 1 \\

6 & 0 & 9 & 3 \\

6 & 7 & 1 & 2 \\

5 & 0 & 0 & 0

\end{vmatrix}

= 5 \cdot (-1)^{4+1} \begin{vmatrix}

1 & 2 & 1 \\

0 & 9 & 3 \\

7 & 1 & 2

\end{vmatrix}

= -5 \begin{vmatrix}

1 & 2 & 1 \\

0 & 9 & 3 \\

7 & 1 & 2

\end{vmatrix}

= -5 (1(18-3) - 2(0-21) + 1(0-63))

= -5(15+42-63) = -5(-6) = 30

$$

次に、2番目の4x4行列を第4行で展開すると、

$$

\begin{vmatrix}

3 & 1 & 2 & 1 \\

2 & 0 & 9 & 3 \\

3 & 7 & 1 & 2 \\

1 & 0 & 0 & 0

\end{vmatrix}

= 1 \cdot (-1)^{4+1} \begin{vmatrix}

1 & 2 & 1 \\

0 & 9 & 3 \\

7 & 1 & 2

\end{vmatrix}

= - \begin{vmatrix}

1 & 2 & 1 \\

0 & 9 & 3 \\

7 & 1 & 2

\end{vmatrix}

= - (1(18-3) - 2(0-21) + 1(0-63))

= - (15+42-63) = - (-6) = 6

$$

したがって、元の行列式は次のようになります。

$-2(30) + 7(6) = -60 + 42 = -18$

3. 最終的な答え

-18