与えられた行列式を計算する問題です。問題には、(1), (2), (4), (5)の4つの行列式が含まれます。

1. 問題の内容

与えられた行列式を計算する問題です。問題には、(1), (2), (4), (5)の4つの行列式が含まれます。

2. 解き方の手順

(1)

行列式は以下のように計算できます。

$\begin{vmatrix} 0 & 0 & 4 \\ 0 & -5 & 7 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix}$

1行目で展開すると、

$0 \cdot \begin{vmatrix} -5 & 7 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} - 0 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 7 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} + 4 \cdot \begin{vmatrix} 0 & -5 \\ 3 & 2 \end{vmatrix}$

$= 4 \cdot (0 \cdot 2 - (-5) \cdot 3)$

$= 4 \cdot (0 + 15)$

$= 4 \cdot 15 = 60$

(2)

行列式は以下のように計算できます。

$\begin{vmatrix} 2 & 3 & 5 \\ 8 & 13 & -1 \\ 6 & -9 & 6 \end{vmatrix}$

1行目で展開すると、

$2 \cdot \begin{vmatrix} 13 & -1 \\ -9 & 6 \end{vmatrix} - 3 \cdot \begin{vmatrix} 8 & -1 \\ 6 & 6 \end{vmatrix} + 5 \cdot \begin{vmatrix} 8 & 13 \\ 6 & -9 \end{vmatrix}$

$= 2 \cdot (13 \cdot 6 - (-1) \cdot (-9)) - 3 \cdot (8 \cdot 6 - (-1) \cdot 6) + 5 \cdot (8 \cdot (-9) - 13 \cdot 6)$

$= 2 \cdot (78 - 9) - 3 \cdot (48 + 6) + 5 \cdot (-72 - 78)$

$= 2 \cdot 69 - 3 \cdot 54 + 5 \cdot (-150)$

$= 138 - 162 - 750$

$= -774$

(4)

行列式は以下のように計算できます。

$\begin{vmatrix} \frac{1}{4} & \frac{1}{6} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{12} & \frac{1}{6} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & 0 & \frac{1}{6} \end{vmatrix}$

1行目で展開すると、

$\frac{1}{4} \cdot \begin{vmatrix} \frac{1}{6} & \frac{1}{4} \\ 0 & \frac{1}{6} \end{vmatrix} - \frac{1}{6} \cdot \begin{vmatrix} \frac{1}{12} & \frac{1}{4} \\ \frac{1}{4} & \frac{1}{6} \end{vmatrix} + \frac{2}{3} \cdot \begin{vmatrix} \frac{1}{12} & \frac{1}{6} \\ \frac{1}{4} & 0 \end{vmatrix}$

$= \frac{1}{4} \cdot (\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} - \frac{1}{4} \cdot 0) - \frac{1}{6} \cdot (\frac{1}{12} \cdot \frac{1}{6} - \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{4}) + \frac{2}{3} \cdot (\frac{1}{12} \cdot 0 - \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{4})$

$= \frac{1}{4} \cdot \frac{1}{36} - \frac{1}{6} \cdot (\frac{1}{72} - \frac{1}{16}) + \frac{2}{3} \cdot (-\frac{1}{24})$

$= \frac{1}{144} - \frac{1}{6} \cdot (\frac{2}{144} - \frac{9}{144}) - \frac{2}{72}$

$= \frac{1}{144} - \frac{1}{6} \cdot (-\frac{7}{144}) - \frac{1}{36}$

$= \frac{1}{144} + \frac{7}{864} - \frac{1}{36}$

$= \frac{6}{864} + \frac{7}{864} - \frac{24}{864}$

$= \frac{6 + 7 - 24}{864}$

$= \frac{-11}{864}$

(5)

行列式は以下のように計算できます。

$\begin{vmatrix} 99 & 100 & 101 \\ 100 & 99 & 100 \\ 101 & 101 & 99 \end{vmatrix}$

1行目で展開すると、

$99 \cdot \begin{vmatrix} 99 & 100 \\ 101 & 99 \end{vmatrix} - 100 \cdot \begin{vmatrix} 100 & 100 \\ 101 & 99 \end{vmatrix} + 101 \cdot \begin{vmatrix} 100 & 99 \\ 101 & 101 \end{vmatrix}$

$= 99 \cdot (99 \cdot 99 - 100 \cdot 101) - 100 \cdot (100 \cdot 99 - 100 \cdot 101) + 101 \cdot (100 \cdot 101 - 99 \cdot 101)$

$= 99 \cdot (9801 - 10100) - 100 \cdot (9900 - 10100) + 101 \cdot (10100 - 9999)$

$= 99 \cdot (-299) - 100 \cdot (-200) + 101 \cdot (101)$

$= -29601 + 20000 + 10201$

$= 600$

3. 最終的な答え

(1) 60

(2) -774

(4) -11/864

(5) 600