2次関数 $y = x^2 - (2+k)x + k + 4$ のグラフが $x$ 軸と接するように、定数 $k$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - (2+k)x + k + 4$ のグラフが $x$ 軸と接するように、定数 $k$ の値を求め、そのときの接点の座標を求める。

2. 解き方の手順

グラフが $x$ 軸と接するということは、2次方程式 $x^2 - (2+k)x + k + 4 = 0$ が重解を持つということです。

したがって、判別式 $D$ が 0 になる条件から $k$ の値を求めます。

判別式 $D$ は、

$D = (2+k)^2 - 4(k+4)$

$D = k^2 + 4k + 4 - 4k - 16$

$D = k^2 - 12$

$D = 0$ となるのは、

$k^2 - 12 = 0$

$k^2 = 12$

$k = \pm \sqrt{12} = \pm 2\sqrt{3}$

$k = 2\sqrt{3}$ のとき、

$x^2 - (2+2\sqrt{3})x + 4 + 2\sqrt{3} = 0$

$x = \frac{2+2\sqrt{3}}{2} = 1 + \sqrt{3}$

$k = -2\sqrt{3}$ のとき、

$x^2 - (2-2\sqrt{3})x + 4 - 2\sqrt{3} = 0$

$x = \frac{2-2\sqrt{3}}{2} = 1 - \sqrt{3}$

よって、

$k = 2\sqrt{3}$ のとき、接点の座標は $(1+\sqrt{3}, 0)$

$k = -2\sqrt{3}$ のとき、接点の座標は $(1-\sqrt{3}, 0)$

3. 最終的な答え

$k = 2\sqrt{3}$ のとき、接点の座標は $(1+\sqrt{3}, 0)$

$k = -2\sqrt{3}$ のとき、接点の座標は $(1-\sqrt{3}, 0)$