与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。 $\begin{vmatrix} a & 0 & 0 & b \\ c & d & 0 & 0 \\ e & f & g & 0 \\ 0 & 0 & h & i \end{vmatrix}$

1. 問題の内容

与えられた4x4行列の行列式を計算します。行列は以下の通りです。

$\begin{vmatrix}

a & 0 & 0 & b \\

c & d & 0 & 0 \\

e & f & g & 0 \\

0 & 0 & h & i

\end{vmatrix}$

2. 解き方の手順

行列式を計算するために、いくつかの方法がありますが、ここでは余因子展開を利用します。第1行に沿って余因子展開を行うと、

$\begin{vmatrix}

a & 0 & 0 & b \\

c & d & 0 & 0 \\

e & f & g & 0 \\

0 & 0 & h & i

\end{vmatrix} = a \begin{vmatrix}

d & 0 & 0 \\

f & g & 0 \\

0 & h & i

\end{vmatrix} - 0 + 0 - b \begin{vmatrix}

c & d & 0 \\

e & f & g \\

0 & 0 & h

\end{vmatrix}$

次に、3x3行列の行列式を計算します。

$\begin{vmatrix}

d & 0 & 0 \\

f & g & 0 \\

0 & h & i

\end{vmatrix} = d \begin{vmatrix}

g & 0 \\

h & i

\end{vmatrix} - 0 + 0 = d(gi - 0) = dgi$

$\begin{vmatrix}

c & d & 0 \\

e & f & g \\

0 & 0 & h

\end{vmatrix} = c \begin{vmatrix}

f & g \\

0 & h

\end{vmatrix} - d \begin{vmatrix}

e & g \\

0 & h

\end{vmatrix} + 0 = c(fh - 0) - d(eh - 0) = cfh - deh$

したがって、

$\begin{vmatrix}

a & 0 & 0 & b \\

c & d & 0 & 0 \\

e & f & g & 0 \\

0 & 0 & h & i

\end{vmatrix} = a(dgi) - b(cfh - deh) = adgi - bcfh + bdeh$

3. 最終的な答え

$adgi - bcfh + bdeh$