数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 0$, $a_{n+1} = 2a_n + (-1)^{n+1}$ ($n \ge 1$) で定義されている。以下の問いに答えよ。 (1) $b_n = \frac{a_n}{2^n}$ とおくとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ で表せ。 (2) $b_n$ を求めよ。 (3) $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、$a_1 = 0$, $a_{n+1} = 2a_n + (-1)^{n+1}$ ($n \ge 1$) で定義されている。以下の問いに答えよ。

(1) $b_n = \frac{a_n}{2^n}$ とおくとき、$b_{n+1}$ を $b_n$ で表せ。

(2) $b_n$ を求めよ。

(3) $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた漸化式 $a_{n+1} = 2a_n + (-1)^{n+1}$ の両辺を $2^{n+1}$ で割ると、

$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{2a_n}{2^{n+1}} + \frac{(-1)^{n+1}}{2^{n+1}}$

$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = \frac{a_n}{2^n} + \left( -\frac{1}{2} \right)^{n+1}$

$b_n = \frac{a_n}{2^n}$ とおくとき、$\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}} = b_{n+1}$ であるから、

$b_{n+1} = b_n + \left( -\frac{1}{2} \right)^{n+1}$

(2) $n \ge 2$ のとき、

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} \left( -\frac{1}{2} \right)^{k+1}$

$b_1 = \frac{a_1}{2^1} = \frac{0}{2} = 0$ であるから、

$b_n = 0 + \sum_{k=1}^{n-1} \left( -\frac{1}{2} \right)^{k+1} = \sum_{k=1}^{n-1} \left( -\frac{1}{2} \right)^{k+1}$

これは、初項が $\left(-\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}$、公比が $-\frac{1}{2}$、項数が $n-1$ の等比数列の和であるから、

$b_n = \frac{\frac{1}{4} \left\{ 1 - \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\} }{1 - \left( -\frac{1}{2} \right)} = \frac{\frac{1}{4} \left\{ 1 - \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\} }{\frac{3}{2}} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{3} \left\{ 1 - \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\}$

$b_n = \frac{1}{6} \left\{ 1 - \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\}$

$n=1$ のとき、$b_1 = \frac{1}{6} \left\{ 1 - \left( -\frac{1}{2} \right)^{0} \right\} = \frac{1}{6} (1-1) = 0$ となり、$b_1 = 0$ を満たすので、この式は $n=1$ のときも成り立つ。

(3) $b_n = \frac{a_n}{2^n}$ より、$a_n = 2^n b_n$ であるから、

$a_n = 2^n \cdot \frac{1}{6} \left\{ 1 - \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\} = \frac{2^n}{6} \left\{ 1 - \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\}$

$a_n = \frac{2^n}{6} - \frac{2^n}{6} \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} = \frac{2^n}{6} - \frac{2^n}{6} (-1)^{n-1} \frac{1}{2^{n-1}} = \frac{2^n}{6} - \frac{2}{6} (-1)^{n-1} = \frac{2^n - 2(-1)^{n-1}}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $b_{n+1} = b_n + \left( -\frac{1}{2} \right)^{n+1}$

(2) $b_n = \frac{1}{6} \left\{ 1 - \left( -\frac{1}{2} \right)^{n-1} \right\}$

(3) $a_n = \frac{2^n - 2(-1)^{n-1}}{6}$