$x, y$ は実数で $x^2 + y^2 \leq 1$ を満たすとき、$\frac{2x - y + 1}{x - y + 3}$ の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

$x, y$ は実数で $x^2 + y^2 \leq 1$ を満たすとき、$\frac{2x - y + 1}{x - y + 3}$ の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

$k = \frac{2x - y + 1}{x - y + 3}$ とおくと、 $k(x - y + 3) = 2x - y + 1$ となる。

これを整理すると、

$kx - ky + 3k = 2x - y + 1$

$(k-2)x + (1-k)y + (3k-1) = 0$

これは、$xy$ 平面上の直線を表し、$x^2 + y^2 \leq 1$ を満たす $x, y$ が存在するためには、この直線と円 $x^2 + y^2 = 1$ が共有点を持つ必要がある。

したがって、円 $x^2 + y^2 = 1$ の中心 $(0, 0)$ と直線 $(k-2)x + (1-k)y + (3k-1) = 0$ の距離 $d$ が、円の半径 $1$ 以下である必要がある。

点と直線の距離の公式より、

$d = \frac{|(k-2)(0) + (1-k)(0) + 3k-1|}{\sqrt{(k-2)^2 + (1-k)^2}} = \frac{|3k-1|}{\sqrt{k^2 - 4k + 4 + 1 - 2k + k^2}} = \frac{|3k-1|}{\sqrt{2k^2 - 6k + 5}}$

$d \leq 1$ より、

$\frac{|3k-1|}{\sqrt{2k^2 - 6k + 5}} \leq 1$

$|3k-1| \leq \sqrt{2k^2 - 6k + 5}$

両辺を2乗して、

$(3k-1)^2 \leq 2k^2 - 6k + 5$

$9k^2 - 6k + 1 \leq 2k^2 - 6k + 5$

$7k^2 \leq 4$

$k^2 \leq \frac{4}{7}$

$-\frac{2}{\sqrt{7}} \leq k \leq \frac{2}{\sqrt{7}}$

3. 最終的な答え

最大値: $\frac{2}{\sqrt{7}} = \frac{2\sqrt{7}}{7}$

最小値: $-\frac{2}{\sqrt{7}} = -\frac{2\sqrt{7}}{7}$