$x$ に関する2次方程式 $x^2 - 2mx + 2m^2 + m - 2 = 0$ の解がすべて整数となるような整数 $m$ をすべて求める。

1. 問題の内容

$x$ に関する2次方程式 $x^2 - 2mx + 2m^2 + m - 2 = 0$ の解がすべて整数となるような整数 $m$ をすべて求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次方程式を解の公式を用いて解きます。

$x = \frac{-(-2m) \pm \sqrt{(-2m)^2 - 4(2m^2 + m - 2)}}{2}$

$x = \frac{2m \pm \sqrt{4m^2 - 8m^2 - 4m + 8}}{2}$

$x = \frac{2m \pm \sqrt{-4m^2 - 4m + 8}}{2}$

$x = \frac{2m \pm 2\sqrt{-m^2 - m + 2}}{2}$

$x = m \pm \sqrt{-m^2 - m + 2}$

解が整数となるためには、根号の中身 $-m^2 - m + 2$ が非負の整数の平方数である必要があります。

つまり、$-m^2 - m + 2 = k^2$（$k$ は非負の整数）となる必要があります。

$-m^2 - m + 2 \geq 0$ より、 $m^2 + m - 2 \leq 0$

$(m + 2)(m - 1) \leq 0$

$-2 \leq m \leq 1$

したがって、$m$ は $-2, -1, 0, 1$ のいずれかの整数です。それぞれの場合について、$-m^2 - m + 2$ を計算し、平方数になるかどうかを確認します。

- $m = -2$ のとき：$-(-2)^2 - (-2) + 2 = -4 + 2 + 2 = 0 = 0^2$

- $m = -1$ のとき：$-(-1)^2 - (-1) + 2 = -1 + 1 + 2 = 2$ (平方数ではない)

- $m = 0$ のとき：$-0^2 - 0 + 2 = 2$ (平方数ではない)

- $m = 1$ のとき：$-1^2 - 1 + 2 = -1 - 1 + 2 = 0 = 0^2$

$m = -2$ のとき、$x = -2 \pm \sqrt{0} = -2$（整数）

$m = 1$ のとき、$x = 1 \pm \sqrt{0} = 1$（整数）

したがって、$m = -2$ または $m = 1$ です。

3. 最終的な答え

$m = -2, 1$