3つの数 $x, y, z$ がこの順で等比数列をなし、$y, x, z$ の順で等差数列をなしている。これらの3つの数の和が6であるとき、$x, y, z$ の値を求めよ。ただし、$x < z$ とする。

1. 問題の内容

3つの数 $x, y, z$ がこの順で等比数列をなし、$y, x, z$ の順で等差数列をなしている。これらの3つの数の和が6であるとき、$x, y, z$ の値を求めよ。ただし、$x < z$ とする。

2. 解き方の手順

(1) $x, y, z$ がこの順で等比数列であることから、

$y^2 = xz$ が成り立つ。

(2) $y, x, z$ がこの順で等差数列であることから、

$2x = y + z$ が成り立つ。

(3) $x, y, z$ の和が6であることから、

$x + y + z = 6$ が成り立つ。

(4) $2x = y + z$ より、 $z = 2x - y$ を $x + y + z = 6$ に代入すると、

$x + y + 2x - y = 6$

$3x = 6$

$x = 2$

(5) $x=2$ を $2x = y + z$ に代入すると、

$4 = y + z$

$z = 4 - y$

(6) $x=2$ と $z = 4 - y$ を $y^2 = xz$ に代入すると、

$y^2 = 2(4 - y)$

$y^2 = 8 - 2y$

$y^2 + 2y - 8 = 0$

$(y + 4)(y - 2) = 0$

$y = -4$ または $y = 2$

(7) $y = -4$ のとき、$z = 4 - (-4) = 8$

$y = 2$ のとき、$z = 4 - 2 = 2$

(8) $x < z$ より、$y = -4, z = 8$ である。$y=2$ の場合、$x=z=2$ となり、$x<z$を満たさない。

3. 最終的な答え

$x = 2, y = -4, z = 8$