問題1: 関数 $y = x^2 - 2px + q$ のグラフの頂点のy座標を求める。 問題2: $-1 \le x \le 3$ において、関数 $y = x^2 - 2px + q$ は $x = 0$ のとき最小値をとり、最大値は4である。このとき、$p + q$ の値を求める。

1. 問題の内容

問題1: 関数 $y = x^2 - 2px + q$ のグラフの頂点のy座標を求める。

問題2: $-1 \le x \le 3$ において、関数 $y = x^2 - 2px + q$ は $x = 0$ のとき最小値をとり、最大値は4である。このとき、$p + q$ の値を求める。

2. 解き方の手順

問題1:

* 与えられた関数 $y = x^2 - 2px + q$ を平方完成する。

$y = (x - p)^2 - p^2 + q$

* 頂点の座標は $(p, -p^2 + q)$ である。

* 頂点のy座標は $-p^2 + q$ である。

問題2:

* $x=0$ のとき最小値をとるので、$y(0) = 0^2 - 2p(0) + q = q$ が最小値。

* 軸は $x=p$ であり、$x=0$ で最小なので、$0 \le p$。

* 範囲 $-1 \le x \le 3$ の中央は $x = 1$ なので、$p \le 1$ ならば $x = -1$ で最大、$1 \le p$ ならば $x=3$ で最大となる。

* しかし、$0 \le p \le 1$ のはず。仮に $x = 3$ で最大なら、軸からの距離が遠い$x = -1$でも最大となる。だから、$0 \le p \le 1$。

* $x= -1$ のとき最大値を取る。$y(-1) = (-1)^2 - 2p(-1) + q = 1 + 2p + q = 4$。したがって、$2p + q = 3$。

* $y(0) = q$ が最小値。

* $2p+q = 3$ と $q = q$ から $2p = 3 - q$

* 頂点のx座標が $p$ なので、軸が $x=p$。条件より、$-1 \le x \le 3$ で $x=0$ のとき最小値なので、$0 \le p \le 3$。しかし、軸から最も遠いところで最大値を取るので、$x = -1$ で最大値をとる場合と、$x=3$で最大値をとる場合がある。

* グラフより、$p = 0$ ならば、$x=3$ と $x=-1$ で同じ値となる。$p = 0$ の時、$q = 3$。よって、$p+q = 3$。

* $p=1$の時、$y = x^2 - 2x + q$。$x=0$で最小だから、$q=q$。最大値は、$x = -1$ の時、$y=1+2+q=3+q=4$より、$q=1$。したがって、$p+q = 1+1 = 2$。

* $x=-1$ で最大値をとるとき、$y(-1) = 1 + 2p + q = 4$ より $2p + q = 3$。

* $x=0$ で最小値をとるとき、$y(0) = q$。

* $2p + q = 3$ より、$2p = 3 - q$。

* 頂点は $(p, -p^2 + q)$。

* $-1 \le x \le 3$ において $x = 0$ で最小となるから $0 \le p$ 。また、軸が範囲の中にあるので、$y(3)=9-6p+q$, $y(-1)=1+2p+q$ を比べる。

* 最大値が $y(-1) = 1 + 2p + q = 4$ なので、$2p + q = 3$ 。

* $p=1$の場合、$y=x^2-2x+q$となり、$q=1$。よって、$p+q=2$。

* したがって、$p+q = 2$。

3. 最終的な答え

問題1: c. $-p^2 + q$

問題2: c. 2