画像に写っている2次方程式の問題を解きます。 問題は大きく分けて2つのパートがあり、一つは与えられた2次方程式を解く問題、もう一つは与えられた解を持つ2次方程式の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

画像に写っている2次方程式の問題を解きます。

問題は大きく分けて2つのパートがあり、一つは与えられた2次方程式を解く問題、もう一つは与えられた解を持つ2次方程式の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

以下、問題番号順に解法と解答を示します。

(1) $x^2 = 28$

両辺の平方根を取ります。

$x = \pm \sqrt{28} = \pm 2\sqrt{7}$

(2) $9x^2 - 81 = 0$

$9x^2 = 81$

$x^2 = 9$

$x = \pm 3$

(3) $(x - 8)^2 = 4$

$x - 8 = \pm \sqrt{4} = \pm 2$

$x = 8 \pm 2$

$x = 10, 6$

(4) $x^2 + 12x = 3$

$x^2 + 12x - 3 = 0$

解の公式より、$x = \frac{-12 \pm \sqrt{12^2 - 4(1)(-3)}}{2(1)} = \frac{-12 \pm \sqrt{144 + 12}}{2} = \frac{-12 \pm \sqrt{156}}{2} = \frac{-12 \pm 2\sqrt{39}}{2} = -6 \pm \sqrt{39}$

(5) $x^2 - 7x + 5 = 0$

解の公式より、$x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(1)(5)}}{2(1)} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 20}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{29}}{2}$

(6) $2x^2 - 9x - 11 = 0$

解の公式より、$x = \frac{9 \pm \sqrt{(-9)^2 - 4(2)(-11)}}{2(2)} = \frac{9 \pm \sqrt{81 + 88}}{4} = \frac{9 \pm \sqrt{169}}{4} = \frac{9 \pm 13}{4}$

$x = \frac{9 + 13}{4} = \frac{22}{4} = \frac{11}{2}, \quad x = \frac{9 - 13}{4} = \frac{-4}{4} = -1$

(7) $(x + 3)(x - 4) = 0$

$x + 3 = 0$ または $x - 4 = 0$

$x = -3, 4$

(8) $x^2 - 22x + 40 = 0$

$(x - 2)(x - 20) = 0$

$x = 2, 20$

(9) $x^2 + 16x + 64 = 0$

$(x + 8)^2 = 0$

$x = -8$

(10) $x^2 - 30x = 0$

$x(x - 30) = 0$

$x = 0, 30$

(11) $4x^2 - 36x - 88 = 0$

$x^2 - 9x - 22 = 0$

$(x - 11)(x + 2) = 0$

$x = 11, -2$

(12) $(x + 7)(x - 7) = -32$

$x^2 - 49 = -32$

$x^2 = 17$

$x = \pm \sqrt{17}$

(13) $(x - 2)^2 - 7 = -2x^2 - 6x$

$x^2 - 4x + 4 - 7 = -2x^2 - 6x$

$3x^2 + 2x - 3 = 0$

解の公式より、$x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(3)(-3)}}{2(3)} = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 36}}{6} = \frac{-2 \pm \sqrt{40}}{6} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{10}}{6} = \frac{-1 \pm \sqrt{10}}{3}$

(14) $3(x^2 - 3x) = (x - 3)(x - 18)$

$3x^2 - 9x = x^2 - 21x + 54$

$2x^2 + 12x - 54 = 0$

$x^2 + 6x - 27 = 0$

$(x + 9)(x - 3) = 0$

$x = -9, 3$

(1) $x^2 + 9x + a = 0$ の解の一つが-4なので、

$(-4)^2 + 9(-4) + a = 0$

$16 - 36 + a = 0$

$a = 20$

よって、$x^2 + 9x + 20 = 0$

$(x + 4)(x + 5) = 0$

$x = -4, -5$

もう一つの解は -5

(2) $x^2 - ax + 5b = 0$ の解が-10と6なので、解と係数の関係より、

$-10 + 6 = a$

$(-10)(6) = 5b$

よって、$a = -4$

$b = \frac{-60}{5} = -12$

3. 最終的な答え

(1) $x = \pm 2\sqrt{7}$

(2) $x = \pm 3$

(3) $x = 10, 6$

(4) $x = -6 \pm \sqrt{39}$

(5) $x = \frac{7 \pm \sqrt{29}}{2}$

(6) $x = \frac{11}{2}, -1$

(7) $x = -3, 4$

(8) $x = 2, 20$

(9) $x = -8$

(10) $x = 0, 30$

(11) $x = 11, -2$

(12) $x = \pm \sqrt{17}$

(13) $x = \frac{-1 \pm \sqrt{10}}{3}$

(14) $x = -9, 3$

3 (1) $a = 20$, もう一つの解は $-5$

3 (2) $a = -4$, $b = -12$