数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その漸化式は $a_{n+1} = \frac{n+2}{n} a_n + 1$ であり、初期値は $a_1 = 2$ である。この数列の一般項 $a_n$ を求める。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が与えられており、その漸化式は $a_{n+1} = \frac{n+2}{n} a_n + 1$ であり、初期値は $a_1 = 2$ である。この数列の一般項 $a_n$ を求める。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を変形して扱いやすくする。両辺に $n(n+1)$ を掛ける。

$n(n+1)a_{n+1} = (n+1)(n+2) a_n + n(n+1)$

ここで、$b_n = n(n+1)a_n$ とおくと、

$b_{n+1} = b_n + n(n+1)$

となる。この漸化式は階差数列の形になっているので、数列 $\{b_n\}$ の一般項を求める。

$n \geq 2$ のとき、

$b_n = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} k(k+1) = b_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (k^2+k)$

$b_1 = 1(1+1)a_1 = 2a_1 = 2(2) = 4$ であるから、

$b_n = 4 + \sum_{k=1}^{n-1} (k^2+k) = 4 + \sum_{k=1}^{n-1} k^2 + \sum_{k=1}^{n-1} k$

$= 4 + \frac{(n-1)n(2n-1)}{6} + \frac{(n-1)n}{2}$

$= 4 + \frac{(n-1)n(2n-1)+3(n-1)n}{6}$

$= 4 + \frac{(n-1)n(2n-1+3)}{6}$

$= 4 + \frac{(n-1)n(2n+2)}{6}$

$= 4 + \frac{(n-1)n(n+1)}{3}$

$= \frac{12 + (n-1)n(n+1)}{3}$

$= \frac{n(n^2-1)+12}{3} = \frac{n^3-n+12}{3}$

$b_n = n(n+1)a_n$ だったので、

$a_n = \frac{b_n}{n(n+1)} = \frac{n^3-n+12}{3n(n+1)}$

$a_n = \frac{n^3-n+12}{3n^2+3n}$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1-1+12}{3+3} = \frac{12}{6} = 2$ となり、問題文の条件を満たす。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{n^3-n+12}{3n(n+1)} = \frac{n^3-n+12}{3n^2+3n}$