$x = 2 + \sqrt{3}$ であるとき、以下の値を求めます。 (1) $x + \frac{1}{x}$ (2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$, $x^4 + \frac{1}{x^4}$ (3) $x^6 + x^4 + x^3 + x + 1 + \frac{1}{x^2}$

1. 問題の内容

$x = 2 + \sqrt{3}$ であるとき、以下の値を求めます。

(1) $x + \frac{1}{x}$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$, $x^4 + \frac{1}{x^4}$

(3) $x^6 + x^4 + x^3 + x + 1 + \frac{1}{x^2}$

2. 解き方の手順

(1) $x + \frac{1}{x}$ の値を求めます。

$x = 2 + \sqrt{3}$ なので、$\frac{1}{x} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ です。

$\frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ の分母を有理化すると、$\frac{1}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{(2 + \sqrt{3})(2 - \sqrt{3})} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}$ となります。

よって、$x + \frac{1}{x} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4$ です。

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2}$ と $x^4 + \frac{1}{x^4}$ の値を求めます。

$x + \frac{1}{x} = 4$ なので、$(x + \frac{1}{x})^2 = x^2 + 2 + \frac{1}{x^2} = 4^2 = 16$ となります。

したがって、$x^2 + \frac{1}{x^2} = 16 - 2 = 14$ です。

次に、$x^4 + \frac{1}{x^4}$ の値を求めます。

$(x^2 + \frac{1}{x^2})^2 = x^4 + 2 + \frac{1}{x^4} = 14^2 = 196$ となります。

したがって、$x^4 + \frac{1}{x^4} = 196 - 2 = 194$ です。

(3) $x^6 + x^4 + x^3 + x + 1 + \frac{1}{x^2}$ の値を求めます。

$x^6 = x^2 \cdot x^4$, $\frac{1}{x^2}$ があるので、共通因数でくくると計算しやすくなると考えられます。

$x = 2 + \sqrt{3}$ であり、$x+\frac{1}{x}=4$, $x^2+\frac{1}{x^2} = 14$, $x^4+\frac{1}{x^4} = 194$ であることを利用します。

$x^6 + x^4 + x^3 + x + 1 + \frac{1}{x^2} = x^6 + x^4 + x^3 + x + 1 + \frac{1}{x^2}$

$x^6$ は、$x^2 * x^4$なので、$x^2 * x^4 = (2 + \sqrt{3})^2 (2 + \sqrt{3})^4 = (7 + 4\sqrt{3}) (97 + 56\sqrt{3}) = 679 + 392 \sqrt{3} + 388\sqrt{3} + 672 = 1351 + 780\sqrt{3}$.

また、$x^3 = (2 + \sqrt{3})^3 = 2^3 + 3 * 2^2*\sqrt{3} + 3 * 2 * (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{3})^3 = 8 + 12\sqrt{3} + 18 + 3\sqrt{3} = 26 + 15\sqrt{3}$

$x^6 + x^4 + x^3 + x + 1 + \frac{1}{x^2} = (1351 + 780\sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3})^4 + (2 + \sqrt{3})^3 + (2 + \sqrt{3}) + 1 + (2 - \sqrt{3})^2$

$= (1351 + 780\sqrt{3}) + (97 + 56\sqrt{3}) + (26 + 15\sqrt{3}) + (2 + \sqrt{3}) + 1 + (7 - 4\sqrt{3}) = 1484 + 848\sqrt{3}$

$x^6 + x^4 + x^3 + x + 1 + \frac{1}{x^2} = x^2(x^4+1/x^4) + x^4 + x^3 + x + 1 =$

3. 最終的な答え

(1) $x + \frac{1}{x} = 4$

(2) $x^2 + \frac{1}{x^2} = 14$, $x^4 + \frac{1}{x^4} = 194$

(3) $x^6 + x^4 + x^3 + x + 1 + \frac{1}{x^2} = 1484 + 848\sqrt{3}$