方程式 $|x^2 - 1| = k$ の実数解の個数を、$k$ の値によって分類する。

1. 問題の内容

方程式 $|x^2 - 1| = k$ の実数解の個数を、$k$ の値によって分類する。

2. 解き方の手順

$y = |x^2 - 1|$ のグラフを描き、$y = k$ との交点の個数を調べる。

まず、$y = x^2 - 1$ のグラフを考える。これは、$x^2$ のグラフを $y$ 軸方向に $-1$ だけ平行移動したものである。頂点は $(0, -1)$ で、$x$ 軸との交点は $x = \pm 1$ である。

次に、$y = |x^2 - 1|$ のグラフを考える。これは、$y = x^2 - 1$ のグラフの $y < 0$ の部分を $x$ 軸に関して折り返したものである。

つまり、

$x^2 - 1 \ge 0$ のとき、$y = x^2 - 1$

$x^2 - 1 < 0$ のとき、$y = -(x^2 - 1) = 1 - x^2$

グラフは、頂点が $(0, 1)$ で、$x$ 軸との交点が $x = \pm 1$ である。

$y = |x^2 - 1|$ と $y = k$ の交点の個数を考える。

$k < 0$ のとき、交点は存在しないので、実数解は0個。

$k = 0$ のとき、交点は2個 $(x=\pm 1)$ なので、実数解は2個。

$0 < k < 1$ のとき、交点は4個なので、実数解は4個。

$k = 1$ のとき、交点は3個 $(x=0, \pm \sqrt{2})$ なので、実数解は3個。

$k > 1$ のとき、交点は2個なので、実数解は2個。

3. 最終的な答え

$k < 0$ のとき、実数解は0個。

$k = 0$ のとき、実数解は2個。

$0 < k < 1$ のとき、実数解は4個。

$k = 1$ のとき、実数解は3個。

$k > 1$ のとき、実数解は2個。