数学的帰納法を用いずに、自然数の二乗和の公式 $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を導出せよ。

1. 問題の内容

数学的帰納法を用いずに、自然数の二乗和の公式 $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ を導出せよ。

2. 解き方の手順

恒等式 $(k+1)^3 - k^3 = 3k^2 + 3k + 1$ を利用します。

この恒等式を $k = 1$ から $k = n$ まで足し合わせると、以下のようになります。

$\sum_{k=1}^{n} ((k+1)^3 - k^3) = \sum_{k=1}^{n} (3k^2 + 3k + 1)$

左辺は、隣り合う項が打ち消し合うtelescoping sumになるので、

$\sum_{k=1}^{n} ((k+1)^3 - k^3) = (2^3 - 1^3) + (3^3 - 2^3) + \dots + ((n+1)^3 - n^3) = (n+1)^3 - 1^3 = (n+1)^3 - 1$

右辺は、

$\sum_{k=1}^{n} (3k^2 + 3k + 1) = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\sum_{k=1}^{n} k + \sum_{k=1}^{n} 1$

$\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n+1)}{2}$ であり、 $\sum_{k=1}^{n} 1 = n$ であることを用いると、

$3\sum_{k=1}^{n} k^2 + 3\frac{n(n+1)}{2} + n$

したがって、

$(n+1)^3 - 1 = 3\sum_{k=1}^{n} k^2 + \frac{3n(n+1)}{2} + n$

$3\sum_{k=1}^{n} k^2 = (n+1)^3 - 1 - \frac{3n(n+1)}{2} - n$

$= n^3 + 3n^2 + 3n + 1 - 1 - \frac{3n^2+3n}{2} - n$

$= n^3 + 3n^2 + 2n - \frac{3n^2+3n}{2}$

$= \frac{2n^3 + 6n^2 + 4n - 3n^2 - 3n}{2}$

$= \frac{2n^3 + 3n^2 + n}{2}$

$= \frac{n(2n^2 + 3n + 1)}{2}$

$= \frac{n(n+1)(2n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

3. 最終的な答え

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$