次の方程式を解いて $x$ の値を求めます。 $\frac{1}{4}(x+1)(x-3) = \frac{1}{3}x(x+2)$

1. 問題の内容

次の方程式を解いて $x$ の値を求めます。

$\frac{1}{4}(x+1)(x-3) = \frac{1}{3}x(x+2)$

2. 解き方の手順

まず、方程式の両辺に12をかけて分母を払います。

$12 \times \frac{1}{4}(x+1)(x-3) = 12 \times \frac{1}{3}x(x+2)$

$3(x+1)(x-3) = 4x(x+2)$

次に、それぞれの括弧を展開します。

$3(x^2 - 3x + x - 3) = 4(x^2 + 2x)$

$3(x^2 - 2x - 3) = 4x^2 + 8x$

$3x^2 - 6x - 9 = 4x^2 + 8x$

方程式の右辺に全て移行します。

$0 = 4x^2 + 8x - 3x^2 + 6x + 9$

$0 = x^2 + 14x + 9$

二次方程式の解の公式 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ を使って解を求めます。

この場合、$a=1, b=14, c=9$ なので、

$x = \frac{-14 \pm \sqrt{14^2 - 4 \times 1 \times 9}}{2 \times 1}$

$x = \frac{-14 \pm \sqrt{196 - 36}}{2}$

$x = \frac{-14 \pm \sqrt{160}}{2}$

$x = \frac{-14 \pm \sqrt{16 \times 10}}{2}$

$x = \frac{-14 \pm 4\sqrt{10}}{2}$

$x = -7 \pm 2\sqrt{10}$

3. 最終的な答え

$x = -7 + 2\sqrt{10}$ または $x = -7 - 2\sqrt{10}$