数列 $\{a_n\}$ が、初項 $a_1 = 5$、漸化式 $a_{n+1} = 4a_n - 3$ で表されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が、初項 $a_1 = 5$、漸化式 $a_{n+1} = 4a_n - 3$ で表されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、漸化式を $a_{n+1} - \alpha = 4(a_n - \alpha)$ の形に変形することを考えます。

$a_{n+1} = 4a_n - 3$ より、$a_{n+1} - \alpha = 4a_n - 3 - \alpha$ となります。

これが $a_{n+1} - \alpha = 4(a_n - \alpha)$ と等しくなるためには、$-3 - \alpha = -4\alpha$ である必要があるので、

$-3 - \alpha = -4\alpha$ を解くと、$3\alpha = 3$ より、$\alpha = 1$ となります。

よって、漸化式は $a_{n+1} - 1 = 4(a_n - 1)$ と変形できます。

数列 $\{a_n - 1\}$ は、初項 $a_1 - 1 = 5 - 1 = 4$、公比 $4$ の等比数列です。

したがって、$a_n - 1 = 4 \cdot 4^{n-1} = 4^n$ となります。

よって、$a_n = 4^n + 1$ となります。

3. 最終的な答え

$a_n = 4^n + 1$