与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。 (1) 頂点の座標と通る1点の座標が与えられたとき。 (2) 軸の方程式と通る2点の座標が与えられたとき。

1. 問題の内容

与えられた条件を満たす2次関数を求める問題です。

(1) 頂点の座標と通る1点の座標が与えられたとき。

(2) 軸の方程式と通る2点の座標が与えられたとき。

2. 解き方の手順

(1) 頂点が $(-2, 1)$ なので、求める2次関数は $y = a(x + 2)^2 + 1$ と表せます。

このグラフが点 $(-1, 4)$ を通るので、代入すると $4 = a(-1 + 2)^2 + 1$ となります。

これを解くと $4 = a(1)^2 + 1$ なので $a = 3$ となります。

したがって、2次関数は $y = 3(x + 2)^2 + 1$ です。

展開すると $y = 3(x^2 + 4x + 4) + 1 = 3x^2 + 12x + 12 + 1 = 3x^2 + 12x + 13$ となります。

(2) 軸が直線 $x = 2$ なので、求める2次関数は $y = a(x - 2)^2 + q$ と表せます。

このグラフが点 $(-1, -7)$ を通るので、代入すると $-7 = a(-1 - 2)^2 + q$ となり、 $-7 = 9a + q$ ... (1) が得られます。

また、点 $(1, 9)$ を通るので、代入すると $9 = a(1 - 2)^2 + q$ となり、 $9 = a + q$ ... (2) が得られます。

(1) - (2) より、 $-7 - 9 = 9a + q - (a + q)$ なので、 $-16 = 8a$ となり、$a = -2$ となります。

(2) に代入すると $9 = -2 + q$ なので、$q = 11$ となります。

したがって、2次関数は $y = -2(x - 2)^2 + 11$ です。

展開すると $y = -2(x^2 - 4x + 4) + 11 = -2x^2 + 8x - 8 + 11 = -2x^2 + 8x + 3$ となります。

3. 最終的な答え

(1) $y = 3x^2 + 12x + 13$

(2) $y = -2x^2 + 8x + 3$