次の分数式を簡単にせよ。 (1) $\frac{(-2xy)^2}{(ab)^3} \times \frac{a^2b^4}{(-x^2y)^3}$

## 問題 1

1. 問題の内容

次の分数式を簡単にせよ。

(1) $\frac{(-2xy)^2}{(ab)^3} \times \frac{a^2b^4}{(-x^2y)^3}$

2. 解き方の手順

まず、各項を計算します。

$(-2xy)^2 = 4x^2y^2$

$(ab)^3 = a^3b^3$

$(-x^2y)^3 = -x^6y^3$

これらを代入すると、

$\frac{4x^2y^2}{a^3b^3} \times \frac{a^2b^4}{-x^6y^3}$

= $\frac{4x^2y^2a^2b^4}{-a^3b^3x^6y^3}$

= $-\frac{4a^2b^4x^2y^2}{a^3b^3x^6y^3}$

= $-\frac{4b}{ax^4y}$

3. 最終的な答え

$-\frac{4b}{ax^4y}$

## 問題 2

1. 問題の内容

次の分数式を簡単にせよ。

(2) $\frac{x^2 - y^2}{x^2y^2} \div \frac{x^3+y^3}{x^3y^2}$

2. 解き方の手順

まず、除算を乗算に変換します。

$\frac{x^2 - y^2}{x^2y^2} \times \frac{x^3y^2}{x^3+y^3}$

次に、各項を因数分解します。

$x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$

$x^3 + y^3 = (x+y)(x^2-xy+y^2)$

これらを代入すると、

$\frac{(x-y)(x+y)}{x^2y^2} \times \frac{x^3y^2}{(x+y)(x^2-xy+y^2)}$

= $\frac{(x-y)(x+y)x^3y^2}{x^2y^2(x+y)(x^2-xy+y^2)}$

= $\frac{(x-y)x}{(x^2-xy+y^2)}$

= $\frac{x(x-y)}{x^2-xy+y^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{x(x-y)}{x^2-xy+y^2}$

## 問題 3

1. 問題の内容

次の分数式を簡単にせよ。

(3) \frac{\frac{a+1}{a-1} - \frac{a-1}{a+1}}

2. 解き方の手順

まず、分子を通分します。

$\frac{(a+1)(a+1) - (a-1)(a-1)}{(a-1)(a+1)}$

= $\frac{(a^2+2a+1) - (a^2-2a+1)}{(a-1)(a+1)}$

= $\frac{a^2+2a+1-a^2+2a-1}{a^2-1}$

= $\frac{4a}{a^2-1}$

3. 最終的な答え

$\frac{4a}{a^2-1}$

## 問題 4

1. 問題の内容

次の分数式を簡単にせよ。

(4) $\frac{a}{a-b} - \frac{b}{b-a}$

2. 解き方の手順

まず、$b-a=-(a-b)$であることを利用して、第2項の分母を$a-b$にします。

$\frac{a}{a-b} - \frac{b}{-(a-b)}$

= $\frac{a}{a-b} + \frac{b}{a-b}$

= $\frac{a+b}{a-b}$

3. 最終的な答え

$\frac{a+b}{a-b}$