(1) $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$ ($a > 1$) のとき、$a+a^{-1}$ と $a^2 - a^{-2}$ の値を求める。 (2) 三つの数 $a = \log_2 3$, $b = \log_4 7$, $c = 1 + \log_2 \sqrt[3]{3}$ を考える。このとき、$6a$, $6b$, $6c$ を $\log_2$ で表し、$a, b, c$ を小さい順に並べる。

1. 問題の内容

(1) $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$ ($a > 1$) のとき、$a+a^{-1}$ と $a^2 - a^{-2}$ の値を求める。

(2) 三つの数 $a = \log_2 3$, $b = \log_4 7$, $c = 1 + \log_2 \sqrt[3]{3}$ を考える。このとき、$6a$, $6b$, $6c$ を $\log_2$ で表し、$a, b, c$ を小さい順に並べる。

2. 解き方の手順

(1)

まず、与えられた式 $a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}} = 3$ の両辺を2乗すると、

$(a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})^2 = 3^2$

$a + 2(a^{\frac{1}{2}})(a^{-\frac{1}{2}}) + a^{-1} = 9$

$a + 2 + a^{-1} = 9$

$a + a^{-1} = 7$

したがって、$a + a^{-1} = 7$

次に、$a^2 - a^{-2}$ を求める。

$a^2 - a^{-2} = (a + a^{-1})(a - a^{-1})$

$a - a^{-1}$ の値を求めるために、$(a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}})^2$ を考える。

$(a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}})^2 = a - 2 + a^{-1} = (a + a^{-1}) - 2 = 7 - 2 = 5$

$a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}} = \pm \sqrt{5}$

$a - a^{-1} = (a^{\frac{1}{2}} + a^{-\frac{1}{2}})(a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}}) = 3(\pm \sqrt{5}) = \pm 3\sqrt{5}$

$a > 1$ より、$a^{\frac{1}{2}} > a^{-\frac{1}{2}}$ であるから、$a^{\frac{1}{2}} - a^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{5}$

したがって、$a - a^{-1} = 3\sqrt{5}$

$a^2 - a^{-2} = (a + a^{-1})(a - a^{-1}) = (7)(3\sqrt{5}) = 21\sqrt{5}$

(2)

$6a = 6\log_2 3 = \log_2 3^6 = \log_2 729$

$6b = 6\log_4 7 = 6 \frac{\log_2 7}{\log_2 4} = 6 \frac{\log_2 7}{2} = 3 \log_2 7 = \log_2 7^3 = \log_2 343$

$6c = 6(1 + \log_2 \sqrt[3]{3}) = 6 + 6 \log_2 3^{\frac{1}{3}} = 6 + 2 \log_2 3 = \log_2 2^6 + \log_2 3^2 = \log_2 64 + \log_2 9 = \log_2 (64 \cdot 9) = \log_2 576$

したがって、$6a = \log_2 729$, $6b = \log_2 343$, $6c = \log_2 576$

$343 < 576 < 729$ より、$6b < 6c < 6a$

したがって、$b < c < a$

3. 最終的な答え

(1) $a + a^{-1} = 7$, $a^2 - a^{-2} = 21\sqrt{5}$

(2) $6a = \log_2 729$, $6b = \log_2 343$, $6c = \log_2 576$

$b < c < a$