$\log_{10} 2 = 0.3010$ と $\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いて、$6^{30}$ の桁数と、$(\frac{1}{15})^{30}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。

1. 問題の内容

$\log_{10} 2 = 0.3010$ と $\log_{10} 3 = 0.4771$ を用いて、$6^{30}$ の桁数と、$(\frac{1}{15})^{30}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) $6^{30}$ の桁数を求める。

$N = 6^{30}$ とおくと、

$\log_{10} N = \log_{10} 6^{30} = 30 \log_{10} 6 = 30 \log_{10} (2 \cdot 3) = 30(\log_{10} 2 + \log_{10} 3)$

$\log_{10} N = 30(0.3010 + 0.4771) = 30(0.7781) = 23.343$

したがって、$N = 10^{23.343} = 10^{23} \cdot 10^{0.343}$

$10^{23}$ は24桁の数であり、$10^{0.343}$ が1桁の数であるから、$6^{30}$ は 24 桁の数である。

(2) $(\frac{1}{15})^{30}$ を小数で表したとき、小数第何位に初めて0でない数字が現れるかを求める。

$M = (\frac{1}{15})^{30}$ とおくと、

$\log_{10} M = \log_{10} (\frac{1}{15})^{30} = 30 \log_{10} (\frac{1}{15}) = 30 \log_{10} (15^{-1}) = -30 \log_{10} 15 = -30 \log_{10} (3 \cdot 5) = -30 (\log_{10} 3 + \log_{10} 5)$

$\log_{10} 5 = \log_{10} (\frac{10}{2}) = \log_{10} 10 - \log_{10} 2 = 1 - \log_{10} 2 = 1 - 0.3010 = 0.6990$

$\log_{10} M = -30(0.4771 + 0.6990) = -30(1.1761) = -35.283$

したがって、$M = 10^{-35.283} = 10^{-36 + 0.717} = 10^{-36} \cdot 10^{0.717}$

$10^{-36}$ は小数第36位に初めて0でない数字が現れることを意味し、$10^{0.717}$ は1桁の数であるから、$(\frac{1}{15})^{30}$ は小数第36位に初めて0でない数字が現れる。

3. 最終的な答え

$6^{30}$ は 24 桁の数である。

$(\frac{1}{15})^{30}$ は小数第36位に初めて0でない数字が現れる。