与えられた2つの2次関数について、指定された条件を満たす定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。 (1) $y = x^2 - 4x + 2k - 2$ のグラフが $x$ 軸と共有点を持たない。 (2) $y = kx^2 + x + 1$ のグラフが $x$ 軸と異なる2点で交わる。

1. 問題の内容

与えられた2つの2次関数について、指定された条件を満たす定数 $k$ の値の範囲を求める問題です。

(1) $y = x^2 - 4x + 2k - 2$ のグラフが $x$ 軸と共有点を持たない。

(2) $y = kx^2 + x + 1$ のグラフが $x$ 軸と異なる2点で交わる。

2. 解き方の手順

(1) 2次関数 $y = x^2 - 4x + 2k - 2$ が $x$ 軸と共有点を持たない条件は、判別式 $D$ が負であることです。

$D = (-4)^2 - 4(1)(2k - 2) = 16 - 8k + 8 = 24 - 8k < 0$

この不等式を解きます。

$24 - 8k < 0$

$8k > 24$

$k > 3$

(2) 2次関数 $y = kx^2 + x + 1$ が $x$ 軸と異なる2点で交わる条件は、以下の2つです。

・$k \neq 0$ (2次関数であること)

・判別式 $D$ が正であること。

$D = (1)^2 - 4(k)(1) = 1 - 4k > 0$

この不等式を解きます。

$1 - 4k > 0$

$4k < 1$

$k < \frac{1}{4}$

$k \neq 0$ と $k < \frac{1}{4}$ を合わせて、

$k < \frac{1}{4}$ かつ $k \neq 0$

3. 最終的な答え

(1) $k > 3$

(2) $k < \frac{1}{4}$ かつ $k \neq 0$