問題は2つの式を計算することです。 (2) $\frac{8}{3-\sqrt{5}} - \frac{2}{2+\sqrt{5}}$ (4) $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

1. 問題の内容

問題は2つの式を計算することです。

(2) $\frac{8}{3-\sqrt{5}} - \frac{2}{2+\sqrt{5}}$

(4) $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}$

2. 解き方の手順

(2) それぞれの分数を有理化し、計算します。

$\frac{8}{3-\sqrt{5}} = \frac{8(3+\sqrt{5})}{(3-\sqrt{5})(3+\sqrt{5})} = \frac{8(3+\sqrt{5})}{9-5} = \frac{8(3+\sqrt{5})}{4} = 2(3+\sqrt{5}) = 6+2\sqrt{5}$

$\frac{2}{2+\sqrt{5}} = \frac{2(2-\sqrt{5})}{(2+\sqrt{5})(2-\sqrt{5})} = \frac{2(2-\sqrt{5})}{4-5} = \frac{2(2-\sqrt{5})}{-1} = -2(2-\sqrt{5}) = -4+2\sqrt{5}$

したがって、

$\frac{8}{3-\sqrt{5}} - \frac{2}{2+\sqrt{5}} = (6+2\sqrt{5}) - (-4+2\sqrt{5}) = 6+2\sqrt{5}+4-2\sqrt{5} = 10$

(4) それぞれの分数を有理化し、計算します。

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{3-2\sqrt{6}+2}{3-2} = 5-2\sqrt{6}$

$\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})} = \frac{3+2\sqrt{6}+2}{3-2} = 5+2\sqrt{6}$

したがって、

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} + \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = (5-2\sqrt{6}) + (5+2\sqrt{6}) = 10$

3. 最終的な答え

(2) 10

(4) 10