与えられた二つの不等式を解きます。 (1) $\frac{x-5}{x-1} > 0$ (2) $\frac{2x}{x-1} - 1 < 0$

1. 問題の内容

与えられた二つの不等式を解きます。

(1) $\frac{x-5}{x-1} > 0$

(2) $\frac{2x}{x-1} - 1 < 0$

2. 解き方の手順

(1)

$\frac{x-5}{x-1} > 0$

分数不等式を解くために、分子と分母の符号が一致する場合を考えます。

(a) $x-5 > 0$ かつ $x-1 > 0$ の場合

$x > 5$ かつ $x > 1$ なので、$x > 5$

(b) $x-5 < 0$ かつ $x-1 < 0$ の場合

$x < 5$ かつ $x < 1$ なので、$x < 1$

したがって、解は $x < 1$ または $x > 5$

(2)

$\frac{2x}{x-1} - 1 < 0$

まず、左辺をまとめます。

$\frac{2x - (x-1)}{x-1} < 0$

$\frac{2x - x + 1}{x-1} < 0$

$\frac{x+1}{x-1} < 0$

分数不等式を解くために、分子と分母の符号が異なる場合を考えます。

(a) $x+1 > 0$ かつ $x-1 < 0$ の場合

$x > -1$ かつ $x < 1$ なので、$-1 < x < 1$

(b) $x+1 < 0$ かつ $x-1 > 0$ の場合

$x < -1$ かつ $x > 1$ となり、これはありえません。

したがって、解は $-1 < x < 1$

3. 最終的な答え

(1) $x < 1$ または $x > 5$

(2) $-1 < x < 1$