(2) 不等式 $\log_3(x+2) + \log_3(x-4) \leq 3$ を解く。 (3) 不等式 $2\log_{\frac{1}{3}} x > \log_{\frac{1}{3}} (x+2)$ を解く。

1. 問題の内容

(2) 不等式 $\log_3(x+2) + \log_3(x-4) \leq 3$ を解く。

(3) 不等式 $2\log_{\frac{1}{3}} x > \log_{\frac{1}{3}} (x+2)$ を解く。

2. 解き方の手順

(2)

まず、対数の定義より、真数は正である必要があるので、

$x+2 > 0$ かつ $x-4 > 0$

よって、$x > -2$ かつ $x > 4$ より、$x > 4$が必要条件である。

次に、不等式を整理する。

$\log_3(x+2) + \log_3(x-4) \leq 3$

$\log_3((x+2)(x-4)) \leq \log_3(3^3)$

$\log_3((x+2)(x-4)) \leq \log_3(27)$

底が3で1より大きいので、真数を比較すると、

$(x+2)(x-4) \leq 27$

$x^2 -2x -8 \leq 27$

$x^2 -2x -35 \leq 0$

$(x-7)(x+5) \leq 0$

$-5 \leq x \leq 7$

$x > 4$ より、$4 < x \leq 7$

(3)

対数の定義より、$x>0$ かつ $x+2>0$ である必要がある。よって、$x>0$

$2\log_{\frac{1}{3}} x > \log_{\frac{1}{3}} (x+2)$

$\log_{\frac{1}{3}} x^2 > \log_{\frac{1}{3}} (x+2)$

底が$\frac{1}{3}$ で1より小さいので、真数を比較すると不等号の向きが逆になる。

$x^2 < x+2$

$x^2 - x -2 < 0$

$(x-2)(x+1) < 0$

$-1 < x < 2$

$x>0$ より、$0 < x < 2$

3. 最終的な答え

(2) $4 < x \leq 7$

(3) $0 < x < 2$